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A. l’rinü’sbeira 
schränkt differenzierbare anal 3 'tische Ausdrücke /'(z) her- 
steilen^), die nur auf einer Seite einer bestimmten Stelle 
durch die Taylorsche Reihe darstellbar sind. 
Hiernach erscheint es aber angezeigt, die notwendigen 
Bedingungen für die Entwickelbarkeit nach der Taylorschen 
Reihe zunächst so zu foi-mulieren, daß dabei nur auf einer 
Seite der betrachteten Stelle Xq gewisse Eigenschaften verlangt 
werden. Die Übertragung des Resultates auf die andere Seite 
bzw. auf die zweiseitige Umgehung bietet dann keinerlei 
Schwierigkeit. 
§ 3 . 
Herabsetzung der im vorigen Paragraphen als notwendig und 
hinreichend erkannten Bedingung (B). 
Die im vorigen Paragraphen (in Verbindung mit der Ein- 
deutigkeit, Endlichkeit und unbeschränkten Differenzierbarkeit) 
als notwendig und hinreichend erkannte Bedingung (B) 
gestattet noch eine gewisse Herabminderung in dem Sinne, 
daß es nicht erforderlich ist, sie in ihrem ganzen Um- 
fange in die Voraussetzung aufzunehmen, um die Gültig- 
keit der Taylorschen Entwickelung nachweisen zu können. 
Mit anderen Worten, die fragliche Bedingung ist zwar zweifel- 
los insofern eine notwendige, als die Gültigkeit der Taylor- 
schen Entwickelung definitiv ausgeschlossen erscheint, sobald 
feststeht, daß irgendein Teil jener Bedingung nicht erfüllt 
ist. Dagegen reicht andererseits ein sogleich anzugebender 
Teil derselben schon aus, um ihre Existenz in dem ganzen 
(unter (B) angegebenen) Umfange zu sichern. Es soll näm- 
lich jetzt gezeigt werden: 
Ist f (x) im Intervall R eindeutig, 
endlich und (in dem ^ 2 unter (A) angegebenen Sinne) 
unheschränlct differensierbar, so gilt die Entuichelung : 
fix, -1- h) = ~ /-w (X,) ■ E für: 0<h<E, 
0 ’ • 
Siehe Math. Ann. 44 (1893), p. 54. 
