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Über den Taylorsclien Lehrsatz. 
ivenn für jedes r < R die Bezielmng besteht : 
(a) ^ (^o) • = 0 
und ivenn, nach Annahme von r<iR, für jedes o<.R—r 
(b) lim f {Xq -f- /i) . = 0 
ivird und zwar gleichmäßig für 0 ^ /i < o . 
(Mit anderen Worten: wenn die früher als notwendig er- 
kannte Bedingung (B) nur für den Anfangs wert A = 0 voll- 
ständig erfüllt ist, so genügt es, wenn sie für die Zwischen- 
werte 0</i<r in dem wesentlich beschränkteren Umfange (b) 
gesichert ist.) 
Beweis. Die Bedingung (a) ist offenbar gleichwertig mit 
der Aussage, daß die Reihe 
0 ’ • 
für jedes positive h<R (absolut) konvergiert (da es ja 
wiederum freisteht in der Beziehung (a) jedes beliebige r < R 
noch durch r -j- d zu ersetzen, wo r < r -j- d < R). 
Wird sodann nach Annahme von r < R ein positives 
Q < R — r fixiert und h vorläufig auf das Intervall 0 < h< g 
beschränkt, so besteht infolge der Voraussetzung (b) a fortiori 
die Relation : 
lim f^'‘^ (Xq h) ■ (g — h)” = 0 für : 0 < /* < p , 
!. = (x> n . 
und daraus folgt auf Grrund des im vorigen Paragraphen ge- 
gebenen Beweises die Gültigkeit der Beziehung 
CO l 
(1 1) f (Xq h) = yj’' -7 (^o) ■ zunächst für : 0 <h< g, 
0 
während andererseits die (absolute) Konvergenz dieser Reihe 
bereits für 0 < /i < r feststeht. 
