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A. l’ringsheim 
Nun werde eine 
nonimen, daß : 
und daher : 
positive ganze Zahl m so groß ange- 
r 
, T < - 
m -j- 1 
( 12 ) 
, r — p 
O < O . 
" m 
Schreibt man jetzt in Gleichung (11) p' -j- h statt h, so 
gilt die Entwickelung 
O O 
(13) /•(a^o+2'+^0 = i:” für: 0</i<p-p', 
0 ’’ • 
während wiederum die betreffende Reihe für 0 < p' -j- Ä < R, 
also insbesondere für 0 ^ Ä < 7? — p' absolut konvergiert und 
daher in demselben Umfange nach dem gewöhnlichen (,Cauchy- 
schen“) Doppelreihensatze in eine absolut konvergierende Reihe 
oc 
nach Potenzen von h, etwa ’^yCyh'’ umgeformt werden kann, 
0 
so daß also 
(14) f{Xo-\-p‘-\~h) = '^>c,Ji'' für: 0<A<p — p' 
0 
wird. 
Andererseits ergibt sich aber, wenn man von der Stelle 
^0 “t“ P' ausgeht, durch dieselbe Schlußweise, welche oben die 
Beziehung (11) lieferte, die Entwickelung: 
( 1 5) f(Xo + p' + /<) = £;*' ^ {Xq+ pO • für : 0 < A ^ p , 
0 ’’ • 
und die Vergleichung mit Gleichung (14) zeigt dann, daß die 
00 
dort mit ^>- 0 ,./*’' bezeichnete Reihe mit der letztgenannten iden- 
0 
tisch sein muß, daß sich demnach der Gültigkeitsbereich 
der Beziehung (14) auf das erweiterte Intervall 0<A<p 
erstreckt. Da aber die Konvergenz^) der Reihe (13), sowie 
*) Hierauf liegt der Nachdruck. Denn man könnte aus der bloßen 
Cp 
Erweiterung des Konvergenzbereiches der Reihe X;’’ c,, /t’’ {Gleichung)(14), 
0 
