A. l’ringsheiin 
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für ein gewisses R — r und 0 < /< < unter einer end- 
lichen Schranke bleihen, etwa : 
(c) + 
Denn otfenbar folgt (c) für < o ohne weiteres aus (b). 
Nimmt man andererseits 5 < Oq, so folgt auch umgekehrt (b) 
aus (c). 
§ 4 . 
Das Cauchysche und das Lagrangesche Restglied. 
Nach Gleichung (5) (p. 142) kann man der als notwendig 
für die Gültigkeit der Taylor sehen Entwickelung von f{xQ-\-h) 
erkannten Bedingung die Form geben: 
lim , ~ Vr, '-0 (gleichmäßig für : 0:^/t^r). 
n— 30 1 ) 1 
Setzt man hier: 
h = §r, wo also : 0 < ?? < 1 , r <C. B, 
so geht sie, wenn man noch den offenbar irrelevanten Faktor r 
hinzufügt, in die folgende über: 
lim - — ^ -j- & r) ■ (1 — • r” = 0 
oder, wenn man schließlich noch h statt r schreibt: 
lim - — - ~ /■(«) (x^ -f ^/i) . (1 _ . Ä« = 0 
n = 09 1 ) • 
und zwar gleichmäßig für jedes einzelne positive h<iB und 
alle dem Intervall 0 < 1? < 1 angehörigen ■d. 
Die linke Seite dieser Gleichung stellt aber den Grenzwert 
des bekannten Cauchyschen Restgliedes vor, dessen Ver- 
schwinden in dem bezeichneten Umfange also eine not- 
wendige Bedingung für die Gültigkeit des Taylorschen 
Satzes bildet (die dann, in Verbindung mit der Endlichkeit 
