224 
Ch. !Müntz 
Grund geeigneter Definitionen die übrigen Axiomgruppen (III 
bis V bei Hilbert) direkt ableiten und fallen daher als solche 
einfach fort. 
Die Kichtlinien des zugehörigen Programms hat, auf den 
klassischen Untersuchungen von v. Staudt fußend und wichtisre 
Resultate von Cayley heranziehend, zuerst Herr Prof. Klein 
in einer grundlegenden Abhandlung (Mathem. Annalen Bd. 6) 
gegeben, und bedeutsame Untersuchungen in gleicher Richtung 
finden sich in den Werken von Herrn Prof. Pasch (, Vorlesungen 
über neuere Geometrie“) und Herrn Prof. Lindemann („Vor- 
lesungen über Geometrie“ Bd. H, 1). 
Uber diese Arbeiten hinaus, die übrigens den Hilbertschen 
Untersuchungen zeitlich vorangegangen sind und im wesent- 
lichen eine ganz andere — nämlich die rein projektive — Rich- 
tung vertreten, geben die folgenden Ausführungen zunächst 
eine äußerste Einschränkung der Axiomatik’), alsdann eine Zu- 
rückführung des Parallelenproblems auf seine letzten Elemente, 
und zuletzt eine neue, rein synthetische Begründung der Metrik. 
Neben den bislang betrachteten drei Grundfonnen des 
Raumes treten dabei durch das Parallelenproblem und seine 
dualen Erweiterungen auch andersgeartete Räume auf, die eine 
Vervollständigung und Verbindung jener Grundformen dar- 
stellen und die Gesamtheit der regulären Geometrien erschöpfen. 
Es gibt 9 ebene und 27 räumliche homogene Geometrien. Sie 
sind arithmetisch dadurch charakterisiert, daß in ihnen — ab- 
gesehen von Perioden — die Entfernungen und Winkel durch 
das gleiche ideale Gebilde analytisch eindeutig bestimmt sind; 
geometrisch — dadurch, daß in ihnen bei homogenem Verhalten 
der eigentlichen Elemente jedem projektiven Grundgebilde 
Vereinfachungen der geometrischen Asiomatik sind in letzter 
Zeit häufig gegeben worden, so von den Herren Moore (Math. Trans. 
1902), Vehlen (ibd. 1904), Rosenthal (Math. Ann. 1910, 1912); insbe- 
sondere vertritt die Arbeit von Herrn Vehlen auch in der Begründung 
der Euklidischen Lehre von den Kongruenzen projektive Gesichtspunkte. 
Die im Texte befolgte Darstellung schließt sich am nächsten dem 
projektiven Teil der Axiomatik von Herrn Prof. F. Schur („Grundlagen 
der Geometrie“) an. 
