Aufbau der gesamten Geometrie. 
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(Punktreilie, Strahlenbündel, Ebenenbüschel) eine einheitliche 
Art der Metrik (elliptisch, oder parabolisch, oder hyperbolisch) 
zukommt; gruppentheoretisch — dadurch, daß sie bei richtiger 
Auffassung sämtlich alle Bewegungen zulassen: oo^ in der Ebene, 
oo ® im Raume. Durch jede dieser Eigenschaften sind umge- 
kehrt alle angegebenen Geometrien, und nur sie, definiert. 
Zur Ergänzung der Untersuchung haben wir noch als 
letzte Erweiterung die von Hilbert aufgestellte Nicht- Archi- 
medische Geometrie synthetisch in die Archimedische eingebaut. 
Die vom mathematischen und philosophischen Standpunkte 
ausgezeichnete Stellung der Euklidischen Geometrie und der 
dadurch begründete Vorrang der klassischen Raumlehre bilden 
den Inhalt der abschließenden Betrachtungen. 
I. Die projektiven Axiome. 
Die Geometrie hat zu ihrem Gegenstand den Raum der 
menschlichen Anschauung und seine Teile. Bei Betrachtung 
oder Vorstellung von Teilen des Raumes läßt sich jede Sub- 
jektiv gewählte feste Grenze der wirklichen Anschauung unter- 
bieten; durch den Vorbehalt, eine solche Grenze bei erneuter 
Betrachtung kleiner gewählt zu denken, gelangt man zum Be- 
griff des Punktes, als idealer Grenze räumlicher Vorstellung 
und Wahrnehmung. 
Der Aufbau der Geometrie geschieht durch Axiome, Kon- 
struktionen und Definitionen. Jedes geometrische Axiom ist 
eine Festsetzung, d. h. ein freier V/illensakt des Denkens, dem 
keine absolute logische Notwendigkeit innewohnt. Das Kri- 
terium für die Aufstellung von solchen Axiomen ist die An- 
passung an die reine Anschauung des Raumes; in diesem Sinne 
kommt den geometrischen Axiomen eine psychologische Not- 
wendigkeit zu, obwohl sie, nur logisch betrachtet, beliebig ab- 
geändert werden und so zu neuen Geometrien Anlaß geben 
können. 
Das Ziel der Axiomatik ist: mit geringsten Mitteln den 
Aufbau des Raumes der Anschauung zu ermöglichen und ihn 
