Aufbau der gesamten Geometrie. 
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Durch die Angabe eines Punktes außerhalb einer Geraden 
wird die Konstruktion von beliebig vielen weiteren Geraden 
möglich, die sich sämtlich dem Begriff der Ebene unterordnen. 
Für diesen Begriff legen wir folgende spezielle Konstruktion 
zugrunde, die in allen drei Grundformen der Geometrie^) aus- 
führbar ist: 
In einem Punkte 0 mögen sich zwei Gerade treffen; auf 
jeder Geraden wählen wir nach beiden Seiten von 0 je einen 
bestimmten Punkt und verbinden diese Punkte duixb gerad- 
linige Strecken untereinander, so ein Viereck als Basis ge- 
winnend; nach jedem Punkte dieser Basis werde von 0 ein 
Halbstrabl gezogen; die Gesamtheit der so gewonnenen Punkte 
ergibt ein Gebilde, das wir Ebene nennen. 
Für die Einordnung der übrigen Geraden, deren Kon- 
struktion nun möglich wird, stellen wir ein Axiom auf, durch 
welches sie in der gewonnenen Ebene aufgeben: 
Axiom 8, Liegen zwei Punkte einer Geraden in einer 
Ebene, so liegt die ganze Gerade in dieser 
Ebene. 
Es läßt sich dann folgender Satz beweisen, der sonst, 
ohne die Angabe einer bestimmten Konstruktion für die Ebene, 
erst durch zwei besondere Axiome (Hilbert I 4, I 5) fest- 
gelegt werden müßte: eine Ebene ist durch drei beliebige nicht 
in gerader Linie liegende Punkte in ihr eindeutig bestimmt. 
Auf Grund der gegebenen Konstruktion der Ebene läßt sich^) 
der Begriff der Halbebenen um eine Gerade definieren. Der 
einfache Zusammenhang der Ebene muß dann noch besonders 
festgelegt werden. 
Axiom 9. Beim Schneiden zweier Geraden einer Ebene 
tritt die schneidende Gerade aus der einen, 
von der geschnittenen Geraden gebildeten 
Halbebene in die andere. 
1) Wir verstehen darunter die Euklidische, die Gaußsche und 
die Riemannsche Geometrie. 
2) In der elliptischen Geometrie ist dahei irj^end eine Gerade der 
Ebene von der Betrachtung auszuschließen. 
