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Ch. Müntz 
Dieses Axiom vertritt dasjenige von Pasch (Hilbert II 4), 
welches in seiner Fassung zu weit ist. 
Axiom IO. Durch die Punkte einer Ebene ist der Raum 
nicht erschöpft. 
Wir können nun jedes weitere räumliche Axiom entbehren, 
wenn wir für den Raum eine bestimmte, in allen Geometrien 
ausführbare Konstruktion geben. 
Neben einer Ebene sei ein Punkt C außerhalb ihr ge- 
geben. Wir legen durch einen Punkt 0 dieser Ebene in früher 
gegebener Weise eine Basis fest und verbinden außerdem C 
mit 0 durch eine Gerade {C 0 C ); als Basis des Raumes läßt 
sich dann ein so bestimmtes räumliches Oktaeder nehmen. 
Nach allen Punkten der Begrenzung dieses Oktaeders ziehe 
man von 0 aus Halbstrahlen; die Gesamtheit der so erhaltenen 
Punkte möge als Raum definiert werden — auf Grund dieser 
Konstruktion und der bisherigen Axiome, denen alle Elemente 
des gewonnenen Raumes unterworfen bleiben mögen, sind dann 
alle geometrischen Eigenschaften des Raumes gegeben. 
Es läßt sich so wiederum als Satz beweisen, was sonst 
durch ein besonderes Axiom (Hilbert I 7) ausgesprochen wer- 
den müßte: wenn zwei Ebenen^) einen Punkt gemein haben, 
so haben sie eine Gerade gemein. 
Der Satz von Desargues folgt daraus, und seine Gültig- 
keit in der Ausgangsebene ist®), rein projektiv betrachtet, die 
notwendige und hinreichende Bedingung dafür, daß sie als Teil 
eines Raumes von drei Dimensionen betrachtet werden dürfe. 
2. Der projektive Raum. 
Die zehn vorhin gegebenen projektiven Axiome erlauben, 
die ganze projektive Geometrie, einschließlich ihrer analytischen 
Darstellung, von einem im Endlichen abgegrenzten Teil des 
Raumes aus zu gewinnen. 
Des gleichen dreidimensionalen Raumes — denn in höheren Di- 
mensionen gilt der Satz nicht mehr. 
-) Vgl. Hilbert, 1. c., p. 9G. 
