Aufbau der "■esamten Geometrie. 
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Der Satz von der Eindeutigkeit des vierten hai’monisclien 
Elementes zu drei in bestimmter Folge in einem Grundgebilde 
erster Stufe gegebenen spielt dabei die entscheidende Rolle. 
Unter Zugrundelegung eines Koordinatentetraeders lassen 
sich die Punkte des Raumes auf rein projektivem Wege mit 
Zahlenquadrupeln — homogenen projektiven Koordinaten — 
belegen; als Zahlen gelten dabei zunächst die gewöhnlichen 
rationalen Zahlen, nur die ihnen entsprechenden Punkte sind 
zunächst existent gedacht. Jede Ebene erhält dann zu ihrer 
analytischen Darstellung eine homogene lineare Gleichung. 
Es können nun beliebige und allgemeinste Erweiterungen 
des vorläufig abgegrenzt gedachten dreidimensionalen Raumes 
dadurch vorgenommen werden, daß man zu zw'ei beliebigen 
Geraden einer Ebene, da sie eindeutig ein Bündel im Raume 
bestimmen und dieses Bündel in gleicher Weise durch zwei 
beliebige Strahlen in ihm bestimmt ist — eine ausführliche 
Darstellung findet man bei Pasch — , ein Zentrum ihres Bün- 
dels hinzunimmt, auch wenn man über dessen reale Existenz 
nichts aussagen kann. Die analytische projektive Geometrie 
läßt sich dann auf alle überhaupt möglichen Zahlenquadrupel 
ausdehnen, wobei nunmehr das Wort ^Zahl“ im allgemeinsten 
Sinne verstanden werden kann. Jede homogene lineare Glei- 
chung bestimmt in ihr eine Ebene; zwei Ebenen schneiden 
sich nun immer in einer Geraden, zwei Gerade einer Ebene 
und ebenso drei Ebenen des Raumes — immer in einem Punkte. 
In dem so gewonnenen j^rojektiven Raume wird das Ge- 
setz der Dualität für räumliche und ebene Verhältnisse unein- 
geschränkt gültig. Alle überhaupt möglichen Raumformen 
fließen in einer einzigen Idealgeometrie zusammen, die wir ab- 
.solute projektive Geometrie heißen können. Innerhalb dieser 
ist dann die weitere Trennung zwischen Realem und Idealem 
vorzunehmen. 
Der gleiche absolute projektive Raum läßt sich aber auch 
aus noch wenigeren Voraussetzungen, als oben gegeben, auf- 
bauen, sobald man neben idealen Punkten auf eigentlichen 
Geraden auch die dual entsprechende Möglichkeit idealer Ge- 
