Aufbau der gesamten Geometrie. 
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Wird nun das gleiche Verhalten noch für eine dritte, 
jenem Büschel nicht angehörende, Gerade vorausgesetzt, so wird 
dadurch der ganze Raum zu einem Euklidischen gestaltet^). 
Analytisch läßt sich dies in projektiven Koordinaten so aus- 
drücken, daß zur Gesamtheit der uneigentlichen Punkte des 
Raumes eine einzige uneigentliche (doppelt zu zählende) Ebene 
gehört. Innerhalb jeder Raumform läßt sich durch Benutzung 
der absoluten projektiven Geometrie eine solche Ebene will- 
kürlich wählen und so eine Euklidische Gestaltung wenigstens 
formal einführen ; aber auch jede andere Gestaltung des Raumes 
läßt sich formal nach Belieben in den projektiven Raum ein- 
bauen, wie auch die eigentliche Natur dieses Raumes ge- 
dacht wird. 
Es werde nunmehr für eine bestimmte Gerade durch einen 
bestimmten äußeren Punkt in der dadurch definierten Ebene 
je eine erste Nichtschneidende nach jeder Seite vorausgesetzt, 
wobei die beiden Parallelen verschieden gedacht seien ; so trifft 
das gleiche Verhalten gegenüber dieser Geraden in jedem Punkte 
des Raumes zu, es werden dadurch auf der Geraden und im 
Raume zwei ideale Grenzpunkte hyperbolischer Natur bestimmt, 
die Geraden nach jedem dieser Grenzpunkte sind zu je zweien 
untereinander im hyperbolischen Sinne parallel. 
Schließlich kann einmal zu einer gegebenen Geraden durch 
einen gegebenen Punkt in der dadurch definierten Ebene über- 
haupt keine Nichtschneidende als wirklich angenommen wer- 
den ; dann trifft das gleiche elliptische Verhalten gegenüber 
allein auszuführen, sobald ein einziges Parallelogramm in ihr gezeichnet 
vorliegt: Parallelenziehen, Abtragen von Strecken auf Geraden gleicher 
Richtung, Halbieren von Strecken u. a. m.; ist die vorgelegte Figur ins- 
besondere ein Quadrat, so wird noch das Fällen und Errichten von Loten, 
ebenso das Abtragen von Winkeln in gleicher Weise möglich; das Strecken- 
abtragen nach verschiedenen Richtungen ist indes mit dem Lineal allein 
auch dann nicht allgemein durchführbar, da man so nur im rationalen 
Bereiche und bei speziellen Kollineationen desselben bleibt (vgl. u.). 
b Die 00 1 Aussagen enthaltende gewöhnliche Fassung des Paral- 
lelenpostulats läßt sich also aus drei Aussagen gewinnen. 
