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Ch. Alüntz 
dieser Geraden für jeden Punkt des Raumes zu, die ganze 
Gerade muß als in sich geschlossen angesehen werden. 
Wird dem Raume die Forderung der Homogenität bezüg- 
lich der Parallelen aufgezwungen, so können gemischte Raum- 
formen nicht als zulässig angesehen werden; mathematisch steht 
jedoch ihre Möglichkeit offen. 
Der Raum kann beispielsweise nach zwei verschiedenen 
Richtungen, und somit nach allen Richtungen eines uneigent- 
licheu Ebenenbüschels, Euklidisch gedacht werden, und nach 
einer dritten, jenem Büschel nicht angehörenden Richtung und 
somit nach allen Richtungen dieser Art — hyperbolisch. Das 
absolute Gebilde dieser Raumform, d. h. die Gesamtheit ihrer 
Grenzpunkte, wird dann in projektiven Koordinaten durch ein 
reeles Ebenenpaar definiert. 
Der Raum kann etwa auch nach einer einzigen Richtung 
als Euklidisch, nach allen anderen als hyperbolisch gedacht 
werden; man braucht nur für das absolute Gebilde in projek- 
tiven Koordinaten einen reellen Kegel zu nehmen, dessen Spitze 
dann den einzigen uneigentlichen Euklidischen Punkt des Rau- 
mes darstellt. 
Wird als absolutes Gebilde ein Paar konjugiei't komplexer 
Ebenen angenommen, so entspricht dies derjenigen Raumform, 
in welcher alle Richtungen eines Ebenenbüschels, durch Fest- 
setzung Euklidischen Verhaltens nach zwei Richtungen des- 
selben, Euklidisch ausfallen, während nach einer jenem Büschel 
nicht angehörenden dritten Richtung, und somit nach allen 
Richtungen dieser Art, elliptisches Verhalten postuliert wird. 
Die Axe des Euklidischen Büschels ist dann die Schnittlinie 
der beiden absoluten Ebenen. 
ln ähnlicher Weise entsteht der nur in einer einzigen 
Richtung Euklidische, nach allen anderen Richtungen elliptische 
Raum durch die Festsetzung eines imaginären Kegels mit reeller 
Spitze für das absolute Gebilde; die Spitze repräsentiert dann 
wieder den einzigen Euklidisch uneigentlichen Punkt. 
Dagegen können im gleichen Raum nicht zugleich hyper- 
bolische und ellipti-sche Gerade Vorkommen, solange man an 
