Aufbau der gesamten Geometrie. 
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allen aufgestellten Axiomen festhält (bei richtiger Auffassung 
gilt dieser Satz übrigens in allen regulären Greoinetrien). 
Es gibt so in bezug auf das Parallelenprobleni drei homo- 
gene und vier inhomogene Formen des Kaumes: ebenso drei 
homogene und zwei inhomogene Formen der Ebene, wobei in 
letzteren das absolute Gebilde bzw. durch ein reelles oder 
imaginäres Geradenpaar dargestellt ist. 
Es gibt aber vom Standpunkte der absoluten projektiven 
Geometrie nur einen einzigen projektiven Kaum, in dem durch 
Abgrenzung des Realen mit Hilfe projektiver Koordinaten und 
absoluter Gebilde in denselben jene verschiedenen (wie alle 
überhaupt möglichen) Formen des Raumes verwirklicht gedacht 
werden können. 
4. Metrik der Geraden. 
Auf Grund projektiver Koordiuatenbestimmung und Hinzu- 
nahme aller Idealpunkte lassen sich alle Formen des Raumes 
in gleicher Weise behandeln. Jede Art der Metrik läßt sich 
nun mit Hilfe der zunächst rationalen projektiven Koordinaten 
auf dem Wege reiner Definition, ohne jede Benutzung von 
Bewegungsbewriffen oder — was auf das Gleiche hinauskäme — 
von besonderen Kongruenzaxiomen, vollständig durchführen. 
Es braucht daher die Metrik durchaus nicht derjenigen Form 
des Raumes zu entsprechen, die man gerade als die gegebene 
annimmt : vielmehr läßt sich beispielsweise in jeder beliebigen 
Kaumform Euklidische Metrik durch Definitionen festlegen. Es 
wird jedoch zw'eckmäßig erscheinen, die Metrik jedesmal der 
gegebenen Raumform direkt anzupassen, und so die projektiv 
ausgezeichneten Elemente auch als metrisch ausgezeichnet zu 
erhalten. 
Die Existenz einer einzigen Euklidischen Parallelen zu 
einer gegebenen Geraden liefert auf derselben einen projektiv 
eindeutig bestimmten uneigentlichen Punkt, den wir mit oc 
bezeichnen, und so zu einem beliebig gewählten eigentlichen 
Punktepaar, das wir — 1, -f- 1 nennen wollen, ihre paraboli.sche 
