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Mitte 0 ; umgekehrt vertreten dann die drei Punkte mit den 
jjrojektiven Koordinaten — 1, 0, 1 nicht nur in projektiver, 
sondern auch in metrischer Hinsicht die Angabe der Parallelen, 
da letztere in jedem Punkte aus ihnen wiedergewonnen werden 
kann. Nun besitzen drei beliebige Punkte der Geraden in 
Verbindung mit dem festen uneigentlichen Punkte oo eine 
gegenüber projektiven Transformationen des llaumes ausge- 
zeichnete absolute Invariante — ihr Doppelverhältnis ; und zwei 
Punkte allein bestimmen bis auf eine multiplikative Konstante 
gleichfalls eine einzige Invariante — ihre Entfernung, sobald 
man als mathematisches Kennzeichen der letzteren ihr additives 
Verhalten festsetzt. Die gesamte parabolische Metrik der Ge- 
raden ist so bestimmt. Die Formel der Entfernung vom Null- 
punkt ist in diesem Falle 
Die projektiven Transformationen der Geraden in sich, welche 
bei gleicher Definition die Entfernungen unverändert lassen, 
sind gegeben durch 
o o 
x' = X a\ 
sie lassen formal den uneigentlichen Punkt der Geraden fest. 
Es sei nun für eine gegebene Gerade in einem einzigen 
äußeren Punkte hyperbolisches Verhalten angenommen, so 
werden dadurch auf dieser Geraden zwei projektiv bestimmte 
uneigentliche Grenzpunkte festgelegt. Nunmehr bestimmen 
schon zwei beliebige Punkte der Geraden eine absolute In- 
variante — das Doppel Verhältnis zu den festen un eigentlichen 
Grenzpunkten. Den Grenzen oder (nach Hilbertscher Bezeich- 
nung) Enden der Geraden legen wir die festen projektiven 
Koordinaten — m, -\- m bei und wählen einen willkürlichen 
Punkt der Geraden als 0 ; so ist die hyperbolische Metrik der 
Geraden notwendig definiert durch die Formel: 
