Aufbau der gesamten Geometrie. 
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Die Entfernungen bleiben unter gleicher Definition unverändert 
bei den projektiven Transformationen von der Form 
X = 
X a 
1 + 
ax 
die Enden bleiben dadurch ebenfalls fest. Auch in diesem 
Falle genügt die Angabe der drei Punkte — 1, 0, -p E wenn 
daneben die projektive Konstante m und die metrische c vor- 
geschrieben werden. 
Zuletzt sei für eine Gerade elliptisches Verhalten ange- 
nommen. Die Metrik dieses Falles wird am einfachsten im 
dual entsprechenden Strahlenbüschel untersucht, wobei an Stelle 
von Punkten Strahlen einrücken, an Stelle von Entfernungen 
— Winkel. Hierbei ist zunächst kein Anhalt für die Auf- 
findung der Punkte — 1, 0, -f l, d. h. einer halbierten Strecke 
bzw. eines halbierten Winkels gegeben ; man kann sie will- 
kürlich wählen und aus ihnen die weiteren Grössen auf pro- 
jektiver Grundlage definieren. Für jeden weiteren Punkt ist 
dann nämlich wieder das Doppelverliältnis zu den drei gege- 
benen als einzige wesentliche Invariante gegeben, worauf sich 
die Definition der Entfernung treffen läfit. Die entsprechende 
Formel ist dann: 
X 
r = c in ■ ar tg - , 
° m' 
wobei m und c wieder Konstanten sind. Die Punkte x = -hm 
stellen mit dem Punkte 0 und dem dadurch bestimmten 
Punkte 00 eine Vierteilung der elliptischen Geraden dar. Die 
elliptischen Entfernungen bleiben unter gleicher Definition un- 
verändert bei den Transformationen von der Gestalt 
X = 
X a 
^ ax 
Es ist beispielsweise zunächst kein Anhalt für die Kon- 
struktion eines rechten Winkels gegeben ; wird aber ein solcher 
Sitzungsb. d. matli.-jjbys. Kl. Jalirg. 1912. IG 
