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direkt Liugelegt und halbiert, so braucht man nur die Schenkel 
des rechten Winkels als — 1 und -f- 1 zu betrachten, den 
halbierenden Strahl als 0: der Winkel eines Strahles von der 
l)rojektiven Koordinate t gegen die Nullrichtuug ist dann ge- 
geben durch 
9? = ar tg T. 
In allen Fällen genügt die Festlegung einer halbierten 
Strecke ( — 1, 0, -j- 1) auf der Geraden neben der Angabe der 
Konstanten m und c zur Erledigung der entsprechenden Metrik, 
die dann durch Betrachtungen im Endlichen allein gewon- 
nen wird. 
Durch die gegebenen Definitionen ist sowohl der Begriff 
der Kongruenz, wie der der Bewegung, für jedes projektive 
Gruudgebilde erster Stufe erklärt. 
5. Homogene Metrik der drei Grundformen der Ebene. 
Für den Aufbau der gesamten Metrik Avählen wir einen 
Weg, der 1. jedes neue Axiom vermeidet, indem er sich zu- 
nächst auf den eigentlichen (endlichen), reellen, ratio- 
nalen, projektiven Raum bezieht, 2. den Begriff der freien 
Beweglichkeit des Raumes nicht heranzieht. Was letzteren 
anbetrifft, so enthält er eine höchst komplizierte Aussage in 
sich, deren Zulässigkeit erst aus der Theorie der quadratischen 
Formen einleuchtet, die so ohne Weiteres in die Geometide 
hineininterpretiert wird ; zudem erlaubt die Stellung der Geo- 
metrie innerhalb der Gesamtheit aller Wissenschaften nicht, 
daß ihr der Begriff der Bewegung in irgend einer Form zu- 
grundegelegt werde: vielmehr hat umgekehrt die Bewegung 
erst aus rein geometrischen Begriffen erklärt zu werden. 
Zum Prinzip, nach dem die sonst ganz willkürlich gestalt- 
bare Durchführung der Metrik vor sich gehen soll, nehmen 
wir das der Homogenität; worunter nur verstanden werden 
mag, daß bei jeder elementaren metrischen Begriffsbildung 
unter allen zulässigen Definitionen einzig diejenige gewählt 
werden solle, bei der sich der eigentliche Raum in jeder Weise 
