Aufbau der gesamten Geometrie. 
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gleichartig verhält — es zeigt sich, daß diese Forderung 
in jedem Falle in strenge mathematische Form gekleidet 
werden kann. Wir unterwerfen dadurch die gesamte Metrik 
dem Satz vom Grunde, worin die tiefere Bedeutung der ge- 
troffenen Festsetzung liegt. Daraufhin ist die Metrik im we- 
sentlichen eindeutig bestimmt; jede anders geartete Metrik kann 
durch Änderung der Definitionen gebildet werden: sie ist dann 
aber entweder nicht an sich schon eindeutig (d. h. die Winkel 
sind nicht durch das gleiche absolute Gebilde definiert, wie die 
Strecken), oder nicht stetig, oder nicht analytisch^). 
Die Allgemeingültigkeit der Kongruenz- und Bewegungs- 
begriffe wird so aus den notwendigsten Elementen gewonnen: 
die methodischen Verhältnisse liegen hier ganz analog wie beim 
Parallelenproblem, für welches ebenfalls die allgemeinen Aus- 
sagen aus wenigen Grundannahmen folgen. 
Die freie BeAveglichkeit des Raumes wird dann zu einem 
beweisbaren Satze, der bei richtiger Interpretation in allen re- 
gulären Geometrien gilt: auch in denjenigen, die bei der üb- 
lichen Auffassung unnötigerweise ausgeschlossen werden und 
so zum größten Teile, wie es scheint, nicht einmal bekannt sind. 
Wir beschränken uns zunächst auf die drei fundamen- 
talen, inbezug auf das Parallelenproblem homogenen Formen 
der Ebene. 
Es sei durch zwei sich schneidende Gerade ein einziges 
Mal in der betreffenden Ebene ein rechter Winkel (d. h. die 
halbe Periode im elliptisch gemessenen Strahlen büschel) als 
solcher festgesetzt und allen weiteren Definitionen zugrunde- 
gelegt; nach beiden Seiten von ihrem Schnittpunkte 0 lege 
man auf jeder der beiden Geraden, in Übereinstimmung mit 
der getreffenen Annahme, die Punkte — 1, -j- 1 hin — so ist 
wieder ein einziges Mal die Gleichheit zweier Strecken ver- 
schiedener Richtungen als solche in der Ebene definiert; in 
der Nicht-Euklidischen Geometrie wird dabei zum ersten Male 
b Es kann daher auch an Stelle der Homogenität die analytische 
Eindeutigkeit der fundamentalen Definitionen und ihres Zusammenhangs 
(abgesehen von Perioden) als maßgebend der Metrik zugrundegelegt werden. 
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