Aufbau der gesamten Geometrie. 
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projektive Anordnung der Elemente und somit auch die ellip- 
tische Metrik derselben. Für die Neigung eines Strahls y = cx 
ffegen die X-Axe erhält man dann tgr = c oder auch tgz = -. 
Es gibt nun Kollineationen der Ebene, durch welche das 
erledigte Strahlenbüschel bei gleichen Definitionen mit unver- 
änderten Größen der Winkel in sich selbst transformiert wird; 
sie sind gegeben durch die Gleichungen: 
x' = d' (x cos d — y sin d) , y' = d' (x sin ö y cos S ) ; 
wir nennen darin d den Drehwinkel, d' den Streckungsfaktor. 
Die Umkehrung dieser Kollineationen 
X = ^(x‘ cos (5 4" y' sin (5), ^ ^ ( — x' sin ö y' cos r3) 
kehrt das Vorzeichen des Drehwinkels und den Wert des 
Streckungsfaktors um; es sind daher diejenigen derartigen 
Kollineationen besonders ausgezeichnet, für welche der Strek- 
kungsfaktor gleich ± 1 ist. Den Fall -[-1 nennen wir ein- 
fach Drehung um den Winkel d; der Fall — 1 entspricht dann 
der Drehung um n d, ist also in dem vorigen enthalten. 
Die verlangte Homogenität unserer Metrik läßt nur die 
einfachen Di-ehungen zur Definition der Entfernungen in den 
Strahlen des Büschels als erlaubt heranziehen, sonst würde die 
Metrik in dem einen Drehsinn der Ebene anders ausfallen als 
im anderen. 
Die Drehung der Ebene um ihren Nullpunkt ist also bei 
der getroffenen Wahl der Koordinaten in allen homogenen Geo- 
metrien notwendig durch die kanonischen Formeln gegeben: 
x‘ = X cos (5 — y sin (5 , = a; sin d -j- y cos b ; 
hier ist zunächst l'^l -|- tg- b durchaus als rational vorauszu- 
setzen, worin auch die Unmöglichkeit der allgemeinen Strecken- 
übertragung im Strahlenbüschel mit dem Lineal allein be- 
gründet ist. 
Die Gleichung des Kreises um den Nullpunkt ist dann 
auch immer durch 
X- \ y- =1- = const 
