240 
Cb. Müntz 
dargestellt; dadurch wird die Entfernung vom Nullpunkte zu- 
nächst für alle rationalen Werte von l erklärt; die Ausdeh- 
nung auf alle rationalen Punkte der Ebene überhaupt ist aber, 
wenn man will, ohne weiteres möglich, die gleiche Formel de- 
finiert dann alle zugehörigen Entfernungen. 
Wir wollen nun dem Prinzip der Homogenität gemäß alle 
Geraden y = const als auf der X-Axe senkrecht stehend de- 
finieren; in gleicher AVeise sollen alle Gei'aden x = const auf 
der Y-Axe senkrecht. Nun betrachten wir diejenigen Kolli- 
neationen, welche die X-Axe und ihre Entfernungen unver- 
ändert lassen, während sie gleichzeitig das System ihrer de- 
finierten Lote in sich überführen. Sie sind gegeben durch die 
entsprechenden Formeln: 
1. für die paz'abolische Ebene 
x' = x-\-a, y'=.a‘y\ 
2. für die hyperbolische 
, X n 
x' = . y‘ 
K. 
m 
1 + 
a X 
in- 
1 + 
n X 
3. für die elliptische 
X = 
a: -f- o 
a X 
■y 
a X 
nr 
AVir nennen hier a den A^erschiebungsparameter, a' den 
Dehnung.sfaktor. Die Umkehrungen dieser Kollineationen sind: 
1. für die parabolische Ebene 
1 , 
X = X —a, y = - y ■ 
2. für die hyperbolische 
x‘ — a 
a x' 
m- 
y = 
■y' 
a x‘ 
wr’ 
1 
a 
