Aufbau der gesamten Geometrie. 
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2. für die elliptische 
X — a 
a X' 
y = 
1 + 
sie kehren jedesmal das Vorzeichen der Verschiebung und 
den Wei’t des Dehnungsfaktors um. Es sind daher diejenigen 
unter den betrachteten Kollineationen besonders ausgezeichnet, 
für welche der Dehnungsfaktor gleich ±1 ist; den Fall + 1 
nennen wir einfach Verschiebung der Ebene län^s der X-Axe 
um den Parameter a, den Fall — 1 leiten wir aus jenem durch 
Spiegelung ab. 
Die verlangte Homogenität unserer Metrik läßt nur die 
einfachen Verschiebungen, wobei die Quadratwurzeln zunächst 
als rational vorauszusetzen sind, zur Definition der Entfernun- 
gen und Winkel in allen Punkten der X-Axe als erlaubt 
heranziehen ; sonst würde sich die Ebene in der einen Rich- 
tung der X-Axe anders verhalten, als in der anderen ; die Ent- 
fernungen würden z. B. ohne jeden Grund nach der einen Seite 
größer, nach der anderen — kleiner ausfallen, und dies wäre 
wieder auf zwei AVeisen möglich. 
Ebenso definiert man die Verschiebung längs der Y-Axe 
durch analoge Formeln, in denen x mit y vertauscht und ß 
für a gesetzt wird. 
Nunmehr sind die Entfernungen auf allen betrachteten 
Loten zur einen, wie zur andei-en Axe erklärt; die Ausdehnung 
auf alle rational definierten Lote überhaupt ist ebenfalls ohne 
weiteres möglich. 
Durch die Kombination einer Verschiebung längs der 
einen Axe mit einer zweiten, längs der anderen, ist die Mög- 
lichkeit gegeben, jeden Punkt der Ebene als Nullpunkt zu 
wählen. Wir definieren nun — diese Definition ist nach un- 
seren Festsetzungen wieder die einzig mögliche — die Strecken 
und AVinkel in jedem Punkte durch die ihnen nach diesen 
Verschiebungen entsprechenden Strecken und Winkel am ur- 
