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Gh. Müntz 
sprüngliclien ?sullpunkte. Dadurch ist dann die Metrik der 
ganzen rationalen Ebene erschöpft. 
Alle Kongruenzen der Ebene sind so auf projektiver 
Grundlage erklärt, ebenso die Bewegungen der Ebene in sich : 
letztere lassen sich aus der Kombination der drei gegebenen 
fundamentalen Kollineationen definieren, sie ändern also weder 
die Entfernungen noch die Winkel. Alle metrischen Eigen- 
schaften der Ebene werden zu beweisbaren Sätzen. Bei der 
gegebenen Darstellung sind die ebenen Bewegungen zunächst 
besondere rein projektive Transformationen, nicht etwa wirk- 
liche mechanische Vorgänge; letztere werden so vielmehr erst 
als mathematisch möglich erwiesen und durch die ersten erklärt. 
Da nun alle drei fundamentalen Transformationen in der 
Euklidischen Ebene eine elliptische uneigentliche Doppelgerade 
unverändert lassen, in den Nicht-Euklidischen Geometrien die 
entspi'echende quadratische Beziehung 
iß — < 0 bzw. X“ ~\- > 0 
in sich selbst überführen, so läßt sich rein formal der gegebene 
Gedankengang dahin definieren, daß das entsprechende absolute 
Gebilde bei allen gegebenen Definitionen unverändert bleibt 
und umgekehrt ihnen zugrundegelegt werden kann ; die spe- 
zielle orthogonale und normierte Form der Gleichung ist be- 
dingt durch die spezielle Wahl der projektiven Koordinaten, 
die in allen Fällen aus zwei aufeinander senkrechten Axen 
und der Gesamtheit ihrer Lote gebildet sind. In der Eukli- 
dischen Geometrie ist diese spezielle Wahl mit der gewöhn- 
lichen Cartesischen identisch, in den fertigen Nicht-Euklidischen 
Geometrien sind solche Koordinaten unter Anwendung aller 
Hilbert sehen Kongruenzaxiome gegentlich von M. Dehn (Math. 
Annalen Bd. 53) benutzt worden. 
In der hier gegebenen Darstellung sind diese Koordinaten 
nach je einmaliger Festlegung des rechten Winkels und der 
Streckenkougruenz auf seinen beiden Schenkeln, nach ihren 
beiden Richtungen, in rein projektiver Weise erschlossen ; durch 
jene Festlegung sind die notwendigen und hinreichenden Eie- 
