Aufimu der gesinnten Geometrie. 
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mente tüi' den Aufbau der gesamten Metrik der Ebene, sei’s 
im Euklidischen, sei’s im Nicht-Euklidischen Sinne gegeben. 
Es sei noch besonders bemerkt, daß der Übergang von der 
einen so gewählten metrischen Basis der Ebene zu irgend einer 
beliebioren ebensolchen anderen der allgemeinsten Kollineation 
dieser Ebene entspricht. 
Es entsteht nun die Frage, was eine nichthomogene Metrik 
auch im regulärsten Falle nach sich zieht. Dies mag an dem 
Beispiel der Drehung illustriert werden. Man kann dort zu- 
nächst den Streckung.sfaktor h' als geeignete Funktion von d 
definieren, nur wird / (0) = 1 , f(nd)=f(Sy sein mü.ssen ; 
bei Beschränkung auf rationale Punkte führt dies auf eine 
unstetige Metrik; es entsteht eine Geometrie, auf die Hilbert 
(p. 150) gelegentlich hingewiesen hat; die Ebene verhält sich 
hier in ihren beiden Drehsinnen verschieden. Bei der üblichen 
Ausdehnung auf irrationale Elemente erhält man in f(d) = 
eine stetige Definition, die an Stelle der Kreise logarithmische 
Spiralen setzt (H elmholt z); die Metrik ist dann nicht mehr 
eindeutig. Zuletzt kann man noch Nicht-Archimedische Koor- 
dinaten zulassen (vgl. u.) und die Ebene im Endlichen homogen, 
im Aktual-unendlichkleinen nichthomogen gestalten (Hilbert, 
p. 14, nennt eine solche Geometrie Nicht-Pythagoräisch) ; dann 
ist die Metrik nicht mehr analytisch. 
6. Allgemeine homogene Metrik der projektiven Ebene. 
Nach dem gleichen synthetischen Verfahren, durch das 
vorhin die Metrik der drei Grundformen der Ebene durchge- 
fühi’t wurde, läßt sich auch die Metrik in allen übrigen regu- 
lären Geometrien behandeln. In jedem Falle wird man dann 
formal auf ein quadratisches absolutes Gebilde geführt, das 
umgekehrt der gleichen Metrik zugrundegelegt werden kann. 
AVir ziehen es daher vor, die allgemeine Metrik der projektiven 
Ebene von vornherein auf ein solches Grundgebilde zu beziehen, 
wobei aber keine Möglichkeit ausgeschlossen werden soll. 
Aus der Parallelentheorie ist uns zunächst eine parabolisch- 
