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Ch. Müntz 
elliptische Ebene bekannt, deren absolutes Gebilde aus zwei 
konjugiert komplexen Geraden durch einen reellen Funkt be- 
steht; oflFenbar ist dieser Fall dual zur Euklidischen Ebene, 
wo umgekehrt eine reelle Gerade mit zwei konjugiert komplexen 
Kreispunkten der Metrik zugrundegelegt werden kann. Man 
braucht daher nur die Sätze der klassischen ebenen Geometrie 
in die duale Sprache zu übersetzen, um die Verhältnisse in der 
betrachteten dualeuklidischen Ebene zu erhalten^): so ist hier 
z. B. die Summe der Seiten in jedem Dreieck konstant. "Wie 
nun in der Euklidischen Ebene die reellen Punkte der un- 
eigentlichen Geraden als unzugänglich betrachtet werden müssen 
und so keine Verschiebung eines eigentlichen Punktes dorthin 
möglich ist, so ist entsprechend keine Drehung eines ellip- 
tischen Strahls der dualen Ebene nach den ausgezeichneten 
Strahlen (des einzigen parabolischen Büschels) möglich ; die 
richtige Auffassung ist hier daher die, daß diese besonderen 
Strahlen (Niveaulinien) als uneigentlich zu betrachten sind — 
die Redewendung von 180“ wird also in dieser Geometrie ganz 
unsinnig, da für die "Winkel nicht elliptische, sondern para- 
bolische Metrik gilt. Es ist klar, daß bei solcher Auffassung 
die betrachtete Ebene Bewegungen in sich zuläßt. Es be- 
steht in dieser Geometrie der Satz, daß alle Wege zwischen 
zwei Niveaulinien gleiche Länge haben. 
Ganz analog liegen die Verhältnisse in der parabolisch- 
hyperbolischen Ebene, wo das absolute Gebilde durch zwei 
reelle Gerade gegeben ist, deren Schnittpunkt dem als ideal 
zu betrachtenden einzigen parabolischen Büschel der Ebene 
entspricht. Auch hier ist die Winkelmessung parabolisch, und 
es gilt wieder der Satz von den Niveaulinien ; es gibt wieder 
00 * Bewegungen, die nur natürlich keinen eigentlichen Strahl 
in einen uneigentlichen überführen können. 
Es existiert nun selbstverständlich eine Ebene, die zur zu- 
letzt betrachteten dual ist und deren absolutes Gebilde aus 
In ganz anderem Zusammenhänge findet sich eine spezielle ähn- 
liche Übertragung auf den Raum in der Dissertation von Herrn Höhm: 
, Parabolische Metrik im hyperbolischen Raum“, München 1903. 
