Aufbau der gesamten Geometrie. 
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einer ausgezeichneten Geraden mit zwei reellen Grundpunkten 
besteht, eine gewissermaßen pseudoeuklidische Ebene ; von der 
Euklidischen unterscheidet sie sich dadurch, daß die Winkel- 
messung in ihr hyperbolisch ist. In jedem eigentlichen Punkte 
gibt es hier zwei ausgezeichnete Richtungen und nur die im 
eigentlichen Sinne zwischen ihnen liegenden Richtungen sind 
als real zu bezeichnen ; um den Nullpunkt gilt für die Winkel 
y 
bei passender Wahl der Axen die Gleichung tghd = 
oc 
Es läßt sich auch parabolische Winkelmessung in der 
Euklidischen Ebene durchführen : man braucht nur eine einzige 
Richtung, etwa die der I^-Äxe, als uneigentlich aufzufassen. 
Um den Nullpunkt gilt dann für die Winkel die Gleichung 
d = - ; auch hier gilt der Satz von den Niveaulinien ; die 
X 
Seiten eines Dreiecks verhalten sich wie die Winkel. Das 
absolute Gebilde besteht hier aus der uneigentlichen Doppel- 
geraden mit einem einzigen ausgezeichneten Doppelpunkt. 
Es läßt sich nun auch eine duale Geometrie zur hyper- 
bolischen herstellen, wenn man die absolute projektive Axio- 
matik gelten läßt, wobei z. B. der Zusammenhang der Halb- 
ebenen untereinander anders ausfällt, als in allen bisherigen 
Formen. Man braucht sich nur im Äußeren einer Hyperbel 
^ 0) zu bewegen, und nur die nichtschneiden- 
den Geraden für real zu halten. Im gleichen Gebiet existiert 
daneben eine zweite Geometrie, wenn nur die schneidenden 
Geraden als real gelten : hierbei werden sowohl die Winkel, 
wie die Längen hyperbolisch. 
Die beiden letztgenannten Geometrien ergeben, in eine 
einzige vereinigt, eine besondere Geometrie, deren Existenz 
längst bekannt ist : aber gerade die von uns vorgenommene 
Trennung stellt ihi-en eigentlichen Sinn und ihre volle Be- 
wegungsfreiheit wieder her. Es sind in ihnen übrigens beliebig 
viele parabolische Gerade verschiedener Richtungen — die 
Tangenten des absoluten Gebildes — vorhanden, die wegen der 
Ungültigkeit der üblichen Anordnungs- und Zusammenhangs- 
sätze die Ebene trotzdem nicht zu einer Euklidischen gestalten. 
