eil. Alüntz 
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Auf solchen ausgezeichneten parabolischen Geraden sind 
alle Längen gleich Null zu setzen ; ebenso wie in einem dualen 
Falle die Winkel der Strahlen gleicher Richtung in der Eu- 
klidischen Geometrie als Null betrachtet werden. Es läßt sich 
dann aber immer auch eine besondere parabolische Metrik mit 
unveränderlicher aktual - unendlichkleiner Einheit für solche 
ausgezeichneten Gebilde durchführen, die bei allen oc® Bewe- 
gungen bestehen bleibt. Entsprechend ist auf der uneigent- 
lichen Geraden bzw. im uneigentlichen Büschel, wo sie einzig 
sind, eine Metrik mit aktual-unendlichgroßer Einheit möglich. 
Diese uneigentliche Metrik kann sogar als hinreichende Grund- 
lage der eigentlichen benutzt ■werden. 
Wir stellen hier die neun möglichen reguläi-en ebenen 
Geometrien, die durch eine homogene Metrik ihrer Winkel 
und Längen charakterisiert sind, in einer besonderen Tafel zu- 
sammen. Eine sie alle umfassende Dreiecksformel gibt der 
allgemeinste Kosinussatz : 
a h c , . h . c a 
cos vi- = cos T r cos -=rr + sin , sin , r cos — > 
M JM JM M Jl M 
wo die Konstanten il/, M je nach elliptischer, parabolischer, 
oder hyperbolischer Metrik der Längen und Winkel bzw. reell, 
unendlich, oder rein imaginär zu nehmen sind. 
a) Winkel elliptisch. 
1 . Längen elliptisch (Elliptische Ebene) : 
im reellen Inneren eines imaginären Kreises ; 
2. Längen parabolisch (Euklidische Ebene) : 
durch Ausschluß einer elliptischen Geraden mit zwei 
konjugiert komplexen Kreispunkten : 
3. Längen hyperbolisch (Hyperbolische Ebene) : 
im Inneren eines Kreises oder einer Hyperbel. 
b) Winkel parabolisch. 
1. Längen elliptisch (Dualeuklidische Ebene): 
im reellen Inneren eines Winkelraumes zwischen zwei 
konjugiert komplexen Geraden ; 
