Aufbau der pesauiteii (ieoiuetrie. 
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2. Längen parabolisch (Absolutparabolisclie Ebene) : 
durch Ausscbluld einer parabolischen Geraden ; 
3. Längen hyperbolisch (Dual-pseudoeuklidische Ebene) : 
im Inneren eines Winkelraumes zwischen zwei reellen 
Geraden. 
c) Winkel hyperbolisch. 
1. Längen elliptisch (Dualhyperbolische Ebene): 
im Äußeren eines Kreises oder einer Hyperbel, wenn nur 
die nichtschneidenden Geraden für real gelten ; 
2. Längen parabolisch (Pseudoeuklidische Ebene) : 
durch Ausschluß einer hyperbolischen Geraden ; 
3. Längen hyperbolisch (Absoluthyperbolische Ebene) : 
im Äußeren eines Kreises oder einer Hyperbel, wenn nur 
die schneidenden Geraden für real gelten. 
7. Metrik des Raumes. 
Wir lassen vorweg nur die drei homogenen Geometrien 
gelten, in denen alle Richtungen als zugänglich betrachtet 
werden und so für die Winkel im Strahlen- und Ebenenbüschel 
elliptische Metrik vorgeschrieben ist. Durch drei in einem 
Punkte zusammentreffende, nicht einer Ebene angehörende 
Gei’ade möge dreimal der rechte Winkel dargestellt und fest- 
gelegt werden ; im Anschluß an die gewählte Annahme über 
die Natur des Raumes legen wir auf jeder Axe nach beiden 
Richtungen vom Nullpunkte die projektiven Koordinaten — 1, 
-pl hin, so dreimal kongruente Strecken im Raume definierend. 
Die so gewonnene metrische Basis erlaubt auf rein projektiver 
Grundlage die gesamte homogene Metrik des Raumes synthe- 
tisch zu erledigen ; man hat nur den für die Ebene gewählten 
Weg zu verallgemeinern. Zunächst werden, was nur auf eine 
Weise geschehen kann, diejenigen Kollineationen des Raumes 
definiert, die man als Drehungen um die Axen bezeichnen 
kann und die in allen homogenen Geometrien bei der gegebenen 
speziellen Wahl der (kanonischen) projektiven Koordinaten 
durch die gleichen Formeln der Cartesischen analytischen Geo- 
