248 
Ch. Müntz 
metrie clargestellt werden — hierin ist übrigens der Grund 
dafür zu suchen, daß die Formeln der sphärischen Trigono- 
metrie in allen drei Grundformen des llaumes die gleichen sind. 
So überträgt man den Längen- und Winkelbegrift’ von den 
Axen auf alle Kichtungen durch den Nullpunkt. Dann defi- 
niert man, was wieder nur auf eine Art möglich ist, diejenigen 
Kollineationen, die man als Verschiebungen längs der Axen 
bezeichnen kann, und überträgt so die Begrijffe von Länge und 
Winkel auf alle Punkte und Richtungen des Raumes. Man 
überzeugt sich, daß die fraglichen Transformationen in der 
parabolischen Geometrie die Gleichung einer uneigentlichen 
Ebene, in den Nicht-Euklidischen Geometrien die Gleichung 
einer Idealfläche zweiten Gerades -j- ± = 0 in 
sich überführen; diese kann umgekehrt nach Cayleys Vorgang 
zum Ausgangspunkt der Definitionen genommen werden. Der 
ganze Raum läßt sich also in seinen drei Grundformen von 
einer gegebenen metrischen Basis — in der Form 
eines rechtwinkligen Dreiaxenkantes vom Arme 1 — 
aus durch rein projektive Definitionen metrisch er- 
schöpfen, sei’s im Euklidischen, sei’s im Nicht-Euklidischen 
Sinne. Der Übergang von einer bestimmten solchen Basis 
zu irgendeiner beliebigen anderen ist durch die allgemeinste 
Kollineation gegeben. 
Es erübrigt sich noch, die sonstigen regulären Formen 
des dreidimensionalen projektiven Raumes anzugeben. 
Für jedes der drei Grundgebilde erster Stufe ist jede der 
drei Arten der Metrik möglich. Es existieren daher insgesamt 
27 homogene Geometrien des Raumes ; sie lassen sämtlich oo® 
Bewegungen zu, man darf nur nie das Verlangen stellen, daß 
dabei eigentliche Elemente in uneigentliche übergeführt werden, 
oder umgekehrt. Durch diese Geometrien wird der duale 
Charakter der Geometrie auch in metrischer Hinsicht voll- 
b Im Euklidischen Raume genügt daher ein vorgelegter Würfel 
zur Erledigung aller projektiven und metrischen Verhältnisse durch Ziehen 
von geraden I,inien allein. 
