Aufbau der gesamten Geometrie. 
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ständig. Nur in den angeführten Geometrien ist die Metrik 
an sich schon analytisch eindeutig ; in jeder anderen ist eine 
solche Eindeutigkeit erst durch besondere Festsetzung zu er- 
reichen, wodurch nicht mehr alle Bewegungen möglich bleiben. 
Der Sinn z. B. einer von Hilbert (p. 30) aufgestellten 
Geometrie ist der, daß in der uneigentlichen Ebene zwei vei- 
schiedene imaginäre Ellipsen gleichzeitig vorgelegt werden : 
dadurch werden zwei verschiedene reguläre Geometrien im 
gleichen Euklidischen Baume vereinigt, von denen jede an sich 
schon analytisch eindeutig ist ; nun Averden aus der einen 
Geometrie die Längen, aus der anderen — die Winkel her- 
übergenommen — die Kongruenzsätze gelten dann natürlich 
nicht mehr, auch bleiben so nur co^ Bewegungen übrig. Eine 
andere Geometrie von Hilbert (p. 128) legt im Euklidischen 
Baume ein Tetraeder als absolutes Gebilde hin ; auf jeder Ge- 
raden im Inneren des Tetraeders entstehen dann zwar nur zwei 
Grenzpunkte, analytisch hat aber jede Gerade tatsächlich vier 
ausgezeichnete Punkte und die Metrik ist so nicht an sich 
schon eindeutig; hier sind nur noch oo^ Bewegungen möglich. 
Wir stellen nunmehr die 27 regulären Geometrien des 
Baumes in folgender Tafel zusammen. 
A) Ebenenwinkel elliptisch. 
I. Strahlen winke! elliptisch. 
1. Längen elliptisch (Elliptische Geometrie): 
im reellen Inneren einer imaginären Kugel ; 
2. Längen parabolisch (Euklidische Geometrie) : 
durch Ausschluß einer elliptisch gedachten Ebene (a ^) ; 
3. Längen hyperbolisch (Hyperbolische Geometrie) : 
im Inneren einer Kugel oder eines zweisch. Hypb-ids. 
H. Strahlenwinkel parabolisch. 
1. Längen elliptisch: 
im reellen Inneren eines Winkelraumes zwischen zwei 
konjugiert komplexen Ebenen mit reeller elliptischer 
Schnittgeraden ; 
