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Ch. Müntz 
3. Längen hyperboliscli: 
auf jeder Seite am einsch. Hyjib-id, wenn dur die 
schneidenden Geraden der äußeren Ebenenteile für 
real gelten. 
8. Vollständige und Nicht-Archimedische Geometrie. 
Der absolute projektive Kaum mit seinen in allen Fällen 
von einem begrenzten Bereiche aus geometrisch wie analytisch 
eindeutig bestimmten vollzähligen Punkten, Geraden und Ebenen 
ist immer sich selbst gleich und immer einzig. 
Die Trennung des Realen vom Idealen, des Rationalen 
vom Irrationalen, des Endlichen vom Unendlichgroßen und Un- 
endiichkleinen läßt dann diesen absoluten Raum der projek- 
tiven Geometrie von verschiedenen Gesichtspunkten metrischer 
Xatur aus betrachten. 
Der von uns projektiv aufgebaute Raum ist vorläufig we- 
sentlich rational; d. h. es sind in ihm nur diejenigen realen 
oder idealen Punkte berücksichtigt, die durch projektive Kon- 
struktionen aus dem fundamentalen Dreiaxenkant entstehen'). 
Xichts aber schränkt die mathematische Erweiterung ein. Man 
kann nun mit Dedekind, G. Cantor, Klein u. A. m. durch 
ein besonderes Axiom festsetzen, daß nach Einführung der Ir- 
rationalen die Gesamtheit aller Punkte der Geraden genau er- 
schöpft sei und erhält dann die übliche vollständige analyti- 
sche Geometrie als volles Äquivalent des Raumes; man kann 
aber auch noch das aktuale Unendlich im Großen wie im 
Kleinen zulassen, und so als letztmögliche reelle arithmetische 
Erweiterung die Xicht-Archimedische Geometrie erhalten. In- 
dem wir uns beständig nur an diejenigen Punkte 
halten, die wir uns als wirklich konstruiert denken, 
und alle Möglichkeiten offen lassen, können wir jedes beson- 
1) Es läßt sich sogar bei Beschränkung der Koordinaten auf ganze 
positive Zahlen allein (in begrenzter Anzahl) die gesamte Geometrie, 
einschließlich der Metrik, in gleicher Weise erledigen; sodaß die Geo- 
metrie aus endlich vielen Aussagen über endlich viele Elemente gewonnen 
werden kann. 
