Aufbau der ffesaiuten (feometrie. 
253 
dere Axiom in dieser Kiclitung vermeiden. In dem von uns 
bisher aufgebauten rationalen Kaume ist seine eigene Art von 
Vollständigkeit von selbst erfüllt; durch die Art der Durch- 
führung der Metrik ist auch das Archimedische Prinzip für 
die realen Elemente von selbst erfüllt; ebenso kann man für 
die Kongruenzen durch die gegebenen Definitionen jedes Axiom 
entbehrlich machen. So ist die gesamte Geometrie rein syn- 
thetisch auf Grund der projektiven Axiome allein aufgebaut; 
eine geringe Abänderung dieser Axiome in absolut projektivem 
Sinne erschließt sämtliche möglichen homogenen Geometrien 
des Raumes von beliebig vielen Dimensionen: es gibt offenbar 
immer einen einzigen absoluten projektiven Raum von n Di- 
mensionen und in ihm 3" Möglichkeiten eindeutiger Metrik, 
die jedesmal auf die allgemeinste reelle quadratische Gleichung 
des absoluten Grundgebildes führen, und je Bewe- 
gungen in sich zulassen. 
Wir wollen nun zeigen, wie die Vervollständigung des 
Raumes durch irrationale und aktuale Punkte auf projektivem 
Wege möglich ist. 
Es sei durch eine Zahl a ein existent gedachter irratio- 
naler Punkt auf der Geraden ( — 1, 0, -p 1) festgelegt, d. h. 
dem zugehörigen Grenzprozeß entsprechend definiert. V ir kon- 
struieren aus — 1, 0, -p 1 zunächst den realen oder idealen 
Punkt oc; aus 0, o. oo läßt sich nun bei rationalem x jedes 
Xo projektiv konstruieren; aus — 1, -p 1, o hat man sofort 
1 x 
- und darauf jedes ; durch weitere projektive Konstruktion 
an den bereits gewonnenen Punkten läßt sich jeder gebroche- 
nen rationalen Funktion von o mit rationalen Koeffizienten 
eindeutig ein Punkt der Geraden zuweisen, da der vierte har- 
1 1 1-11 i(i-\-V)c — 2 ah 
monische Punkt zu (a, h), c gegeben ist durch — — r 
^ ^ ° ° 2 c — (a-po) 
Auf diese Weise ist die Irrationalzahl a dem rationalen Raume 
adjungiert; und so kann man beliebige weitere Irrationale nach 
Bedarf und Belieben dem Raume hinzufügen, worauf die De- 
finition des gewöbnlich angenommenen volLständigen reellen 
