Aufbau der o-csamtcn Geometrie. 
keine Niclitsclineidende angenommen, in der Euklidischen — 
wieder eine einzige nach dem von vornherein iirojektiv be- 
kannten Punkte des absoluten oo; die Metrik wird dadurch 
nicht geändert, die Summe der Winkel im Dreieck bleibt kleiner 
als zwei Rechte, bzw. ist sie ihnen gleich. Durch die Annahme 
der Existenz beliebig vieler wirklicher Nichtschneidenden wird 
jedoch nunmehr eine Trennung möglich. Eine besondere Geo- 
metrie dieser Art entsteht zunächst beim Ausschließen des 
Gesamtgebietes des aktualen Unendlichgroßen durch die Be- 
dingung <i für beliebiges ganzzahliges W; 
im Restgebiet hat man einfach die Euklidische Geometrie, 
bereichert durch die Nicht- Archimedischen Punkte im. End- 
lichen und um 0, vor sich ; die Summe der Winkel ist .so hier 
gleich zwei Rechten (Semi-Euklidische Geometrie). 
Eine andere Geometrie entsteht durch die Annahme eines 
endlichen projektiven Gebietes für den realen Raum durch die 
Bedingung : <, für ein festes endliches m. 
Dies ist einfach die hyperbolische Geometrie, durch die Nicht- 
Archimedischen Punkte im Endlichen und um 0 bereichert; 
die entsprechende Metrik ist die hyperbolische, die Winkel- 
summe im Dreieck — kleiner als zwei Rechte. 
Eine letzte Möglichkeit verbleibt, indem man nur das 
Gebiet des aktualen Unendlichkleinen um irgend einen Punkt 
im Endlichen nimmt; etwa um 0, durch die Bedingung 
X- -\- y^ ”, für beliebiges ganzzahliges N. 
Dieses Gebiet ist bei allen Arten der Metrik in sich ab- 
geschlossen, keine Streckenabtragung führt aus ihm heraus 
und jeder Punkt in ihm ist erreichbar ; so ist hier bei der 
Gültigkeit aller gewöhnlichen Kongruenzsätze jede Art der 
Längenmessung möglich — daher auch eine Geometrie, in 
welcher trotz des Vorhandenseins beliebig vieler Nichtschnei- 
dender die Winkelsumme im Dreieck mehr als zwei Rechte 
beträgt — (Nicht-Legendresche Geometrie). 
Auf noch kompliziertere Nicht-Archimedische Raumldl- 
dungen gehen wir hier nicht ein. 
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