258 
Ch. Müntz 
Verlüiltiüsse sind in beiden möglicli: während in der Nicht- 
Euklidischen im Großen andere Verhältnisse entstehen, als im 
Kleinen : bei hinreichender Kleinheit ist bekanntlich beliebige 
Annäherung an parabolische Verhältnisse möglich, was neben- 
bei ebenfalls zur Folge hat, daß im erreichbaren Endlichen 
beliebige Übereinstimmung der metrischen Resultate mit der 
üblichen Erfahrung herbeigeführt werden kann, w'elche Art 
der Metrik auch angewandt wird. So ist der Euklidische 
Raum geometrisch immer sich selbst ähnlich und sich 
selbst kongruent; während die, verschiedenen Strecken 
als Krümmungsradien entsprechenden, hyperbolischen bzw. 
elliptischen Räume untereinander im Euklidischen 
Sinne ähnlich, aber nicht kongruent sind. So gibt es 
nur einen einzigen Euklidischen Raum, aber beliebig 
viele Nicht - Euklidische ; und letztei'e sind erkenntnis- 
theoretisch dadurch gekennzeichnet, daß in ihnen mit jeder 
bestimmten Größe (Strecke) absolut bestimmte geometrische 
Eigenschaften verbunden werden. 
Schon Gauß war durch das Auftreten des räumlich Ab- 
soluten in der von ihm untersuchten hyperbolischen Geometrie 
zu der Meinung veranlaßt, dies sei ein Grund, solche Geo- 
metrien nicht zuzulassen; jedenfalls hinderte ihn dieser Um- 
stand, seine dahingehenden Untersuchungen zu veröffentlichen 
(Briefe an Schumacher). Diese Ansicht ist jedoch nicht so zu 
verstehen, daß im Nicht-Euklidischen Raume eine geometrische 
Größe auftrete, die im Euklidischen Raume Null sei — die 
Krümmung; durch eine solche Interpretation wird die Aussage 
von Gauß eher entkräftet. Vielmehr ist die direkte Existenz 
einer jeder besonderen Strecke zukommenden absoluten Bedeu- 
tung, und dies hat Gauß auch zweifelsohne gemeint, das 
Avesentlichste Charakteristikum der Nicht-Euklidischen Raum- 
formen. So kommt dort z. B. jeder besonderen Strecke ein 
ganz bestimmter Wert des zugehörigen Winkels in dem aus 
ihr gebauten gleichseitigen Dreieck zu; ebenso erhält das Ver- 
hältnis des zugehörigen Kreisumfanges zu dieser Strecke als 
Durchmesser einen bestimmten Wert u. s. f. 
