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Das Pentagramma mirificum und die nichteuklidischen 
Parallelen. 
Von Heinrich Liehraann. 
Yorgelegt von S. Finsterwalder in der Sitzung am 4. Mai 1912. 
Im Laufe meiner Untersuchungen über die nichteuklidisclie 
Geometrie bin ich zu der Überzeugung gelangt, daß sowohl 
in der hyperbolischen wie auch in der elliptisch-sphärischen 
Geometrie als prinzipiell einfache und zugleich für die ver- 
schiedensten Aufgaben verwendbare Grundlage eine gewisse, 
für beide Geometrien scheinbar völlig verschiedene Zuordnung 
von rechtwinkligen Dreiecken gewählt werden kann. 
Diese Zuordnung wird in der elliptisch-sphärischen Geo- 
metrie aus dem , Pentagramma mirificum“ von Gauß abge- 
leitet D, in der hyberbolischen auf einem ganz anderen Wegü- 
Beidesmal besteht ihre Tragweite darin, daß mit ihrer Hilfe 
gewisse Konstruktionsaufgaben sich lösen lassen, z. B. die Kon- 
struktion des Dreiecks aus den drei Winkeln*), daß sie zui Ab- 
leitung der Metrik (Trigonometrie) verwendet werden können*) 
und endlich, daß mit ihrer Hilfe auf der einen Seite die Eigen- 
schaften der hyperbolischen (Lob atschefskij sehen), auf der 
anderen die der elliptischen (Cliffordschen) Parallelen ohne 
Gauß’ Werke III, S. 481. 
-) Liebmann, Nichteuklidische Geometrie, 2. Auf!., Leipzig 1912 
(i. F. zitiert mit N. E. G.), S. 37 — 41. 
3) N. E. G., S. 42 und S. 156. 
i) N. E. G., S. 73 und S. 163, 
