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H. Liebmann 
jede trigonometrische oder analytisch-geometrische Entwicklung 
erkannt werden können *). 
Ich möchte nunmehr zeigen, daß diese Zuordnungen in 
beiden Geometrien im engsten Zusammenhang stehen (§ 1 ), 
außerdem aber, daß der grundlegende Satz von Study in seiner 
Theorie der Abbildung der orientierten Geraden (Speere) des 
elliptischen Raumes auf die Punktepaare einer Kugel ebenfalls 
hier eingeordnet werden kann; auch dieser Satz, auf den wir 
später zurückkommen, ergibt sich durch eine einfache Kon- 
struktion, die durch das Pentagramma mirificuin nahegelegt 
wird (§ 2 ). 
§ 1 - 
Das Pentagraiuina niirificuni und die Zuordnung recht- 
winkliger Dreiecke. 
Wir gehen, an eine elementare Konstruktion anknüpfend, 
von der elliptisch-sphärischen Geometrie aus und werden so- 
dann, indem wir die Klein-Cayleysche Maßbestimmung ein- 
fühi'en, leicht den Übergang finden zur hyperbolischen Geo- 
metrie, Avohei es wohl nicht überflüssig ist, für diesen zweiten 
Fall nochmals auf alle Einzelheiten der Zuordnung einzugehen. 
I. Das Pentagramma mirificum. 
Wir betrachten auf der Kugel vom Radius Eins ein recht- 
winkliges Dreieck ABC mit den Katheten BC — a^ CA = b 
der Hypotenuse c und den Winkeln 
<^GBA = i.i, ^BAC = X. 
Der Kürze halber bezeichnen wir allgemein mit s' die 
zu s komplementäre Strecke und mit cp' den Komplementwinkel 
von 97 . Verlängert man jetzt BA um c' bis D und BC um a' 
bis E, so ist im Viereck ACEl): 
< A CE = < CEl) = < EDA = |, < 7H4 (7 = rr — A 
AC = h, CE=^ci\ ED — fl, DA = c‘. 
1 ) N. E. G., S. 40 und S. 164—166. 
