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II. Liebmann 
garitlinius des Doppelverhältiiisses, das 1\ und mit den 
Punkten bilden, in denen ihre Verbindungslinie den Funda- 
nientalkegelschnitt trifft. 
Der (hyperbolische) Winkel iß) zweier orientierten *) Ge- 
raden r/j und ^ 2 ) 'iiß iii cartesischen Koordinaten gegeben sind, 
durch die Gleichungen 
X cos üj -(- y sin Oj — = 0 
X cos y sin = 0 
ist dann bestimmt durch 
cos cp = 
cos (og — Pi 
Diese Formel folgt aus der Definition des hyperbolüschen 
Winkelmaßes als der durch 2 i dividierte Logarithmus des 
Doppelverhältiiisses, das die beiden orientierten Geraden mit 
den durch ihren Schnittpunkt an den Fundamentalkegelschnitt 
gelegten Tangenten bilden. 
Für den Koordinatenanfang fällt euklidische und hyper- 
bolische Winkelbestimmung zusammen, ferner stehen zwei Ge- 
rade, von denen die eine durch den Koordinatenanfang geht 
und zur anderen im Sinne der euklidischen Maßbestimmung 
senkrecht steht, auch im Sinn der hyperbolischen Maßbestim- 
mung aufeinander senkrecht. Man erkennt dies sofort, wenn 
7t 
man einmal p^ — 7*2 = 0 setzt, und dann p^ = 0, 
Wir nehmen jetzt zur ir-Achse die Gerade !)£', zur y- 
Achse die Gerade Bl), ferner sei 
BC = u, CA = v, 
dann bekommen wir für die cartesischen Koordinaten die Tabelle 
1) ^V. Blasclike, Über einige unendliche Gruppen von orientierten 
Berührungstransfonnationen der Ebene. Math. Annalen 69 (1910), S. 205. 
