über gewisse unendliche Kettenbruclidetenninanten etc. 345 
Dabei ist leicht iiachzuweisen, dah stets die folgende Re- 
lation bestellt: 
sr > 5 ; -f «3, 
und die Gleichheit dann und nur dann gilt, wenn alle c,. auf 
einem vom 0-Punkt ausgehenden Halbstrahl liegen. Es ist 
nämlich 
/ 00 \ - i 00 CO 2 
y^J ^ ‘ (Pv-\- Yv sin (fr j , 
und hieraus folgt unmittelbar die Ungleichung : 
cos (p,^ + y,. sin cp, ^ , 
und man sieht auch, daß die Gleichheit dann und nur dann 
gilt, wenn alle 99,. untereinander gleich sind. 
An Stelle der Ungleichung (17) kann man setzen 
(s,-iy<ii-\-s,y + si (18) 
Ich zeige nämlich, daß die Ungleichungen (17) und (18) nur 
gleichzeitig bestehen können ; ist Sj — 1 > 0, so ist dies klar ; 
ist s^ — 1 < 0, so besteht a fortiori die Ungleichung (17), aber 
auch die Relation (18) ist noch gültig, da man sie ja in die 
Form setzen kann: 
sl — 2 Si<sl-\- 2 5.3 4 - sl ( 18 ') 
oder auch 
sl — sii — 2 {s, -}- S.3) ^ si 
oder schließlich 
(«1 - i - ^^ 2 ) («1 — «2 — 2 ) < 4 ; ( 19 ) 
da nun offenbar Sj ^ 9 und s, — «2 ^ ^ damit 
die Gültigkeit der obigen Ungleichungen erwiesen. 
Von Satz kommt man mittelst derselben Methode zu- 
nächst zu der Konvergenzbedingung : 
o 00 
Der Kettenbruch (2) konvergiert unbedingt, wenn es ein 
9 ’ i- 0 gibt, für das die Ungleichung erfüllt ist: 
