über die singulären Lösungen einer Dirterentialgleichung etc. ^>1 ü 
und H die Kui-ve K gemeinsam haben müssen, ist notwendig. 
Untersuchen wir jetzt, ob sie hinreichend ist, betrachten wir 
also eine Kurvenschar 
f{x, y) +g{x,y)C h (x, y) = 0, 
bei der den geometrischen Gebilden G und H, die durch die 
Gleichungen g{x,y) = 0 und h{x^y) = Q dargestellt werden, 
ein Bestandteil K gemeinsam ist, während diese Kurve K dem 
durch die Gleichung f{x, y) = 0 dargestellten Gebilde nicht 
angehört. Es sei C' irgend ein von Null verschiedener Wert 
der willkürlichen Konstanten C. Auf der zugehörigen Integral- 
kurve K‘ besteht die Gleichung 
fix, y) C"2 -I- gix, y) C‘ -f hix, y) = 0. 
Mithin müssen die Punkte, die den Kurven K und K‘ ge- 
meinsam sind, der Gleichung 
fix,y) = Ü 
genügen, oder da 6" von Null verschieden ist, der Gleichung 
fix, y) = 0. 
Allein das durch diese Gleichung dargestellte reelle geo- 
metrische Gebilde F sollte die Kurve K nicht enthalten. Mithin 
liefern nur diejenigen Werte C eine Kurve K‘ , die mit der 
Kurve K einen Punkt gemeinsam hat, bei welchen die Kurve K, 
durch einen Schnittpunkt der Kurve F mit dem Gebilde F hin- 
durchgeht. Diese Schnittpunkte können aber, der Voraussetzung 
nach, keinen stetigen Teil von K erfüllen, und daher ist K 
keine Integralkurve der verlangten Art. 
Damit ist der verlangte Beweis geliefert. Man wird jedoch, 
um das Verhalten der Differentialgleichungen zweiten Grades 
ganz zu verstehen, wissen wollen, welche Rolle der Integral- 
kurve K in der Schar der Integralkurven zukommt. Die Unter- 
suchungen W. V. Dycks geben hierüber willkommene Auf- 
klärung. Nach der von ihm eingeführten Bezeichnungsweise 
ist die Kurve K eine Grenzkurve, das heißt eine Kurve, der 
sich eine Schar von Zweigen der partikulären Integralkurven 
von einer oder von zwei Seiten annähert, ohne sie (singuläre 
