514 P. Stäckel, Über die singulären Lösungen etc. 
Stellen ausgenommen) zu berühren oder zu durchsetzen; es ist 
dies der „Typus II “ der singulären Lösungen. Als einfachstes 
Beispiel für das Auftreten einer solchen Grenzkurve gibt v. Dyck 
(a. a. 0., S. 32) die Differentialgleichung 
mx- ■ y''^ y (2 mz — w^y) • y' + = 0. 
Legt man in ihr den Konstanten m und n die Werte bei: 
ni = — 1 , w = -|- 1 , 
so erhält man die Differentialgleichung 
- y'^ + 1 /( 2 ^ + 2 /)-^' + ?/' = 0 , 
der die Kurvenschar 
6'^ — y C — xy = 0 
genügt. An dieser Differentialgleichung lassen sich die vor- 
hergehenden Betrachtungen in lehrreicher Weise erläutern. 
Die Gebilde G und H haben hier die Gerade ^ = 0, also die 
rc-Achse, gemeinsam, und diese ist hier die Kurve K, die dem 
AVerte (7 = 0 entspricht. Ist C von 0 verschieden, so erhält 
man lauter gleichseitige Hyperbeln, die zur gemeinsamen Asym- 
ptote die x-kchse haben, also die Kurve K nicht berühren. 
Vielmehr ist die iC-Achse eine Grenzkurve, der sich die gleich- 
seitigen Hyperbeln mit abnehmendem C unbeschränkt nähern ^). 
0 Herr v. Dyck teilt mir hiezu die folgende geometrische Bemer- 
kung mit: 
Deutet man in bekannter Weise die Gleichung F(x, y, 0 = 0 der 
Integralkurven als Fläche im Raum x, y, z = C, so ist Bedingung für 
eine zugleich partikuläre und eigentlich singuläre Lösung, daß die Pro- 
jektion eines Zweiges der ümrißlinie der Fläche i*— 0 auf die a;i/-Ebene 
mit der Projektion eines Zweiges einer Integralkurve z = Cq zusammen- 
fällt. Dann aber wird diese Fläche von den Erzeugenden des projizieren- 
den ümrißzylinders nicht nur in jenen Umrißpunkten berührt, sondern 
auch noch in den Punkten jenes Zweiges von z = Cq geschnitten, sie 
muß also mindestens vom dritten Grade in z sein. 
Im Falle der „Grenzkurve“ (singuläre Lösung vom Typus II) fällt 
dagegen ein Zweig der ümrißlinie selbst mit einem Zweig der Kurve 
z — Cq zusammen und damit ist die Möglichkeit gegeben, daß die Fläche 
J*’ = 0 in z nur vom zweiten Grade ist, wie in dem oben herangezogenen 
Beispiel des Kegels z^ — zy — xy = 0. 
