Beröhrungstransformationen der geodätischen Linien. 
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welche den Umfang jeder geschlossenen Kurve ungeändert 
lassen. Außerdem ist der Beweis auf jede Fläche über- 
tragbar, da er nur von der Eigenschaft der Geraden Gebrauch 
macht, kürzeste Linie zu sein; d. h. es gilt der Satz: 
Jede umfangstreu e Berührungstransformation auf 
einer Fläche muß eine Transformation der (orientier- 
ten) geodätischen Linien sein. 
Dies vorausgesetzt, stellen wir die naheliegende Frage: 
Können jeder Fläche andere Flächen zugeordnet 
werden, derart, daß den (im weiteren Sinne) umfangs- 
treuen Berührungstransformationen der ersten Fläche 
flächentreue Punkttransformationen der zugeordneten 
Flächen entsprechen? 
Die Berührungstransformationen müssen jedenfalls Trans- 
formationen der geodätischen Linien sein, und es wird sich 
wieder darum handeln, die zweifach unendlich vielen geodäti- 
schen Linien auf die Punkte der zugeordneten Fläche (wie z. B. 
oben des geraden Kreiszylinders) abzubilden. 
Um eine geeignete Darstellung des Bogenelementes zu 
finden, führen wir auf der gegebenen Fläche geodätische Polar- 
koordinaten (p, 9 ?) ein, in denen das Bogenelement gegeben ist 
durch 
ds^ — dp^ -p Pip, cp)dq)‘^ 
und diese Koordinaten verwenden wir als Koordinaten der (orien- 
tierten) geodätischen Tangenten der Kurven, dem Gedankengang 
von Blaschke folgend: Ist OF{OF^) 
das von 0 auf die geodätische Tangente 
der umhüllten Kurve im Punkte P(Pi) 
gefällte geodätische Lot, und bezeichnet 
man die Abschnitte vom Fußpunkt bis 
zum Berührungspunkt mit 
q = FP, q^ = q-\- dq = F,P,, 
trägt man endlich von F^ aus auf der 
benachbarten Tangente noch die Strecke 0 
q ab. 
Fig. 1. 
