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H. Liebmanii 
F,P‘=q, 
so ergibt sich für das ßogenelement PPj der umhüllten Kurve: 
ds = PP, = PP'+ P'Pi = PP'-i- dq. 
Ist ferner S der Schnittpunkt von OP, mit PP, so ist 
nach dem bekannten Satz von Gauh, demzufolge die Ortho- 
gonaltrajektorien der von einem Punkt (P) ausgehenden geo- 
dätischen Linien auf ihnen gleiche Stücke abschneiden, PS 
gleich PP, , und demnach 
PP‘ = q — P, P = q- SP^FP- SP = FS = f(j), <p)d(p, 
also 
1) ds ^ dq -\- f(j),(p)dq). 
Damit ist die für das Folgende maßgebende lineare Zer- 
O O 
legung des Bogenelementes — die Abspaltung eines voll- 
ständigen Differentials dq bewiesen. 
Man kann diese wichtige Zerlegung auch als Spezialfall 
allgemeinerer Untersuchungen und ohne von dem Gaußschen 
Satze Gebrauch zu machen, in sehr einfacher Weise zeigen^): 
Ist eine Maßbestimmung gegeben mit dem Bogenelement 
ds = (') {x, y, y ) dx, 
so wird der Unterschied (PP') zweier von den Linienelementen 
X, y, y und x -j- dx, y + dy, y' F dy' ausgehenden geodäti- 
schen Linien bis zum Schnittpunkt 
ia{x, y,y)dx F {dy — y dx) • - 
In unserem Fall ist zu setzen 
x = (p, y=p, o){x,y, y') = Vipy F 
außerdem aber, weil die geodätische Linie PP auf OP senk- 
recht steht. 
Vgl. F. Engel, Über Knrvenscharen, die zu einem gegebenen 
Differentialausdruck kovariant sind (D. M. V. XIX, 1910, S. 112 — 120). 
Ich verdanke den hier wiedergegebenen Beweis einer brieflichen Mit- 
teilung des Verfassers. 
