Berührungstransformationen der geodätischen Linien. 
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§ 2. Die Speere der hyperbolischen Ebene. 
Wir stellen uns jetzt die Aufgabe, die allgemein gehaltenen 
Betrachtungen im ersten Abschnitt des vorigen Paragraphen 
im besonderen für die hyperbolische Geometrie durchzubilden 
mit kurzem Ausblick auf die elliptische Geometrie. Beide Geo- 
metrien teilen mit der euklidischen Geometrie die Eigenschaft, 
daß sich unter den Flächen der Klasse F (S. 584, Z. 2) mit 
Leichtigkeit solche ausfindig machen lassen, die auf die hyper- 
bolische (elliptische) Ebene abwickelbar sind, und daß wir die 
Abbildung der Speere der Ebene auf die Punkte von F durch 
sehr einfache Konstruktion herstellen können. 
Orientierte Linienelementkoordinaten der hyperboli- 
schen Ebene*). 
Führt man geodätische Polarkoordinaten ein, so wird 
ds^ — Sm^pd<p^ dp^, d. h. f{p,p) = ®tnp. 
Die Gleichung der Geraden ist 
a;, Sofy) cos 9? 4- Soiy? sin cp — <^xxxp = 0, 
wobei p und rp die Polarkoordinaten von F sind (Fig. 1). 
Für die Weierstraßschen Koordinaten des Schnittpunkts P 
zweier unendlich benachbarten Speere sijp,(p) und s' {p -Y dp, 
cp dp) findet man hieraus leicht 
Xx^ = — y)' sin 99 + ßofp ©iny? cos 99 
Xx^ = p' cos 99 -p Sof p ©tni? sin 99 
Xx^ = SoP;?, 
wobei wegen der Beziehung 
x\ — x\ — x\ = 1 
zu setzen ist 
X == l/(5opy9 — {p‘y. 
*) Die analytischen Hilfsmittel sind dargestellt in dem Buch des 
Verfassers: Nichteuklidische Geometrie, Sammlung Schubert 49, 
2. Aufl., 1912. 
