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H. Liebmann 
<p -}- d(p), mit dem Speer s (S. 589, Z. 13) und damit hat das 
sich nicht reell abbildende Linienelement von S U in S seine 
reelle Deutung in der hyperbolischen Ebene gefunden. 
Hiermit ist dann für jeden dem Speer s{p, qy) unendlich 
benachbarten Speer s'(p -b dp, (p drp), möge er den ersten 
schneiden, zu ihm parallel sein oder ein gemeinsames Lot mit 
ihm haben, in der zylindrischen Abbildung der Speere das- 
jenige dem Bildpunkt S angehörige Linienelement durch eine 
sehr einfache Konstruktion gegeben, welches den Bildpunkt S' 
des unendlich benachbarten Speeres enthält^). 
§ 3. Die komplementäre Speerinversion. 
Wir verweilen noch bei den zuletzt besprochenen äqui- 
longen Speertransformationen, und zwar bei denjenigen, welche 
Kreise in Kreise überführen. Während in der euklidischen Geo- 
metrie keine einfachen Beziehungen zwischen den äquilongen 
Berührungstransformationen und den (konformen) Punkttrans- 
formationen der Kreise bestehen, gilt für die nichteuklidische 
Geometrie die volle Dualität®). 
Ferner aber ist schon die Theorie der Punkttransforma- 
tionen der Kreise in der hyperbolischen Ebene ebenso ein- 
fach wie in der euklidischen, wenigstens kann die , Trans- 
formation durch komplementäre Ordinaten“ in der hyperboli- 
schen Geometrie durchaus der Transformation durch reziproke 
Radien an die Seite gestellt werden, und man bedarf zu der 
Ableitung ihrer Haupteigenschaften gar keiner metrischen 
Relationen ®). 
Im folgenden wollen wir eine ebenso einfach äquilonge 
Speertransformation behandeln, einzig und allein auf der 
9 Blaschke führt in seiner Abhandlung: Über die Laguerresche 
Geometrie orientierter Geraden (Archiv d. Math. u. Phys. III, 18, S. 132 ff.) 
die , Pseudo Winkel“ und die , Pseudokonformität“ für gerade Zylinder 
des euklidischen Raumes ein. 
2) Beck, Am. Trans., Vol. XI, 4 (1910). 
Liebmann, a. a. 0., S. 45 ff. 
