598 
H. Liebmann 
zentrischen Grenzkreisen gleichlang; die Mittellinie der Ab- 
standslinie gehört selbst mit zu den Achsen dieser Schar von 
Grenzkreisen. 
Diese Beziehung zv?ischen konzentrischen Grenzkreisen und 
den Abstandslinien, deren Mittellinie eine gemeinsame Achse 
der Grenzkreise ist, wenden wir an^). 
Um das Bild eines Zykls (k) zu finden, der einen Speer 
durch 0 in T berührt, beachten wir, daß der Zykl außer OT 
mit jedem Zykl des den Speer in 0 berührenden Büschels von 
Zyklen noch eine zweite gemeinsame Tangente hat, deren Länge 
ebenfalls gleich OT ist. Dem Berührungsbüschel entspricht 
ein Büschel koaxialer Grenzkreise, dem Zykl (k) eine Kurve, 
deren Tangenten die Grenzkreise berühren, und die Abschnitte 
auf allen Tangenten zwischen den beiden Berührungspunkten 
müssen gleichlang sein. Aus dem zuvor Gesagten folgt dann, 
daß diese Kurve eine Abstandslinie sein muß und so findet 
man das Ergebnis: 
Jedem Zykl, der zwei reelle Tangenten durch 0 
sendet, entspricht eine Abstandslinie. (Ihre Mittellinie 
ist die Verbindungslinie der unendlich fernen Punkte der Bilder 
derjenigen beiden Speere, welche auf den genannten Tangenten 
im Berührungspunkt senkrecht stehen, wobei die Orientierung 
zu beachten ist.) 
Es bleibt noch der Nachweis zu erbringen, daß auch die 
Bilder von Zyklen, die keine reellen Tangenten durch 0 senden, 
wieder Zyklen sind; er ist mit den Hilfsmitteln der Geometrie 
der hyperbolischen Ebene nicht so einfach zu leisten wie die 
bisher betrachteten Fälle, weil auf noch mehr Einzelheiten 
eingegangen werden müßte. 
Abbildung der komplementären Linieninversion 
auf den Baum. Auf einen Schlag erhalten wir alle Ergeb- 
nisse der Linieninversion, wenn wir genau wie bei der Trans- 
1) Vgl. Nichteuklidische Geometrie, S. 48, wo die analoge Eigen- 
schaft der Abstandslinien benützt wird, daß sie Isogonaltrajektorien kon- 
zentrischer Grenzkreise sind. 
