Bei’ührungstransformationen der geodätischen Linien. 
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formation durch komplementäre Ordinaten den Raum als Hilfs- 
mittel benützen ^). 
Errichtet man in P auf der Grundebene die Senkrechte 
PP^ und zieht durch 0 die Parallele OP^ , legt ferner durch 
0 die zu OP^ senkrechte Ebene und sucht auf der Grundebene 
die Fußpunkte der Geraden, welche zur soeben konstruierten 
Ebene senkrecht stehen (das „Randbild“ auf der Grundebene), 
so erhält man genau die oben schon konstruierte Ä.bstandslinie, 
welche dem Punkt P bei der Linieninversion zugeordnet ist, 
denn die Schnittgerade der beiden Ebenen steht auf OP in 0 
senkrecht und der konstante Abstand des Randbilds von dieser 
Schnittgeraden wird gerade die zu OP komplementäre Strecke. 
Hiermit ist eine Beziehung zwischen komplementärer Linien- 
inversion auf der einen Seite und der Zuordnung der durch 0 
gehenden Geraden OP^ zu den auf OP„ in 0 senkrechten 
Ebenen gegeben, die nur ausgebaut zu werden braucht, um in 
einfachster Weise die Bilder aller Zyklen bei der Transforma- 
tion der Grundebene zu finden. 
Wir konstruieren zu einem orientierten Zykl (z. B. einem 
Kreis k vom Radius r) zunächst die Ebene P*, deren Randbild 
er ist, wir errichten also im Mittelpunkt des Kreises nach der 
Seite hin, von der aus gesehen der Drehungssinn positiv ist, 
die Senkrechte auf der Grundebene und tragen die Länge P 
ab, durch den Endpunkt legen wir dann die zu r' senkrechte 
Ebene P*. Sodann ist von 0 aus das Lot auf Ek zu fällen 
und der Rotationskegel (OEk) zu konstruieren, dessen Erzeu- 
gende parallel sind zur Ebene Ek- Um das Bild des Kreises 
zu finden, hat man den Rotationskegel zu konstruieren, der 
von den zu den Erzeugenden des Kegels (0, P*) senkrechten 
Ebenen durch 0 umhüllt wird, dann die Ebene Ek- zu kon- 
struieren, zu der jener Umhüllungskegel asymptotisch ist, und 
endlich das Randbild k' der Ebene P*- auf der Grundebene zu 
zeichnen. Durch die Reihenfolge (Zykl k, Ebene Ek, Ebene P*- 
und Randbild k‘) wird die Abbildung vermittelt. Die einge- 
1) Nichteuklidische Geometrie, S. 62 — 64. 
Sitzungsb d. math.-pbys. Kl. Jabrg. 1912. 
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