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n. Lieb mann 
schalteten Rotationskegel sind nicht nötig, geben aber den Zu- 
sammenhang mit der polaren Abbildung der Strahlen durch 0 
auf die zu ihnen senkrechten Ebenen durch 0, von der wir 
ausgingen, deutlich an. 
Noch durchsichtiger sind die komplementären Linieninver- 
sionen, wenn wir sie mit Hilfe der letzten Überlegung aus- 
bauen zu einer komplementären Ebeneninversion. Bei 
dieser Transformation wird der Ebene des Raumes, deren Ab- 
stand von 0 gleich 0F = p ist, eine der beiden Ebenen zu- 
geordnet, welche auf OF senkrecht stehen und auf dieser Ge- 
raden 0 von abgerechnet die Strecke abschneiden, welche zu p 
komplementär ist. Die Ebenen sind noch zu orientieren, d. h. 
mit einem Drehungssinn um F zu versehen; die Senkrechte OF 
orientieren wir so, daß sie die Ebene von der Seite her durch- 
dringt, wo der Sinn der Drehung negativ (rechtsdrehend) er- 
scheint, und bezeichnen mit a, ß, y die Winkel der so orien- 
tierten Normale mit drei zueinander senkrechten Achsen, mit p 
den mit Vorzeichen versehenen Abstand der Ebene von 0. 
Dann sind a, /?, y, p orientierte Ebenenkoordinaten, und es 
entspricht einer Ebene (a, ß, 7 , die Ebene 
a^ = 7i-\-a, ß^ = 7i-\-ß, 7 , =71-1-7, Vi = —P'- 
Die Abbildung der orientierten Zyklen der Grundebene auf- 
einander bei der komplementären Linieninversion erhält man 
dann einfach, indem man vom orientierten Zykl zur orientierten 
Ebene Eh übergeht, deren Randbild der Zykl ist, dann zur 
Ebene Eh-, dem Bild von Eh bei der komplementären Inversion 
orientierter Ebenen und endlich von hier wieder zum Randbild h‘ 
in der Grundebene. 
Je nachdem k ein Kreis, ein Grenzkreis oder eine Abstands- 
linie ist, wird Eh mit der Grundebene ein gemeinsames Lot 
haben, einen gemeinsamen unendlich fernen Punkt oder eine 
gemeinsame Sekante, das Bild Eh- aber wird die Grundebene 
dann und nur dann schneiden, wenn sich von 0 aus zwei reelle 
Tangenten an k legen lassen. Eh- wird mit der Grundebene 
einen gemeinsamen unendlich fernen Punkt haben (, Zwischen- 
