Über gewisse Potenzreihen an der Konvergenzgrenze. 
5 
Hier bedeutet n wieder eine beliebige positive 
ganze Zahl, r bedeutet eine beliebige nicht negative 
ganze Zahl 1 ), und x bedeutet eine beliebige reelle Zahl. 
Der einfache Beweis dafür lautet in den Hauptzügen : 
Es ist 
cos(r-f-l)# cos (r 4- 2)# 
i : ; 
cos {r-\-n)x 
I 
cos(r + n-\- l)x cos (r -j- 2 «) # 
1 ' ’ ' n 
_ cos ( r n — v -\-\)x 
= r " 
V =1 
^4 cos (r -f- n-\- v) x 
2. j 
Da aber 2 ) 
^4 sin (2 v — 1) t 
>-=i 
< 12 - 8 , 
( 2 ) 
*) Solche Werte von r kommen hier in Betracht. Die Ungleichung (1) 
ist aber richtig für jeden reellen Wert von r. 
2 ) Dies folgt aus der bekannten wichtigen Tatsache, daß 
sin t sin 2 t sin n i ' __ 
~ I 2 i - • • • + ~ 
( 2 ') 
wo n eine beliebige positive ganze Zahl, und t eine beliebige reelle Zahl 
bedeutet. M bezeichnet eine positive Konstante. Ich habe a. a. 0. be- 
wiesen, daß man 
M = 3-6 
setzen kann. Ich vermute aber, daß das Maximum von 
L 
v = \ 
sin v t 
mit wachsendem n fortwährend wächst, und für lim n = co zu 
f S1T ^ dx= P8519 ... 
J x 
0 
konvergiert, so daß also M — P8519 . . . die „richtige Konstante“ für 
