6 
3. Abhandlung: Leopold Fejer 
und zwar für jeden positiven ganzzahligen Wert von n, und 
für jeden reellen Wert von t, also ist die Ungleichung (1) 
erwiesen. 
Ich will jetzt zeigen, date auch 
sin (r 4-1)# sin(r-f-2)# sin(V+w)# 
n n — 1 r- • ■ • + ~ 
sin(r+n+l)# 
sm(r+2»)z < 2 -. 6 
n 
(3) 
In der Tat ist 
sin (r-j- 1)# 
n 
sin (r + 2) # , 
+ + • • • + 
sin (r -j- n) x 
1 
sin (r -j- n 4- 1) x 
T 
sin (r -j- 2 n) x 
n 
sin (r -j- n — v -(- 1) x sin (r 4 -n-\- r)x 
/ 1 \ 
2 cos | r + n + ^ j x 
« sin (2 v — 1) - 
Wenn ich also wieder die Ungleichung (2) in Betracht 
ziehe, so erhalte ich die zu beweisende Ungleichung (3). 
Bemerkung. Setze ich in die Ungleichungen (1) und (3) 
statt x das Produkt sx , wo s eine beliebige positive ganze 
Zahl bedeutet, so erhalte ich die Ungleichungen : 
cos(r+l)s# cos(r-j-2)s# cos(r+2w)s# 
n _r n — 1 ' ’ ’ n 
<25-6, (4) 
jsin(r+l)s# sin(r+2)s# sin(r+2n)s# /g\ 
n n — 1 ' ’ n 
die Ungleichung ( 2 ‘) wäre. Eine geeignete Modifikation der Betrachtungen, 
die Herr Bocher im §9 seiner Arbeit „Introduction to the theory of 
Fouriei's series“ (Annals of Mathematics, second series, vol.7, 1906) gibt, 
dürfte wohl diese Vermutung bestätigen. — Ich bemerke noch, daß es 
wünschenswert wäre für die Ungleichung (2‘) einen elementaren (d. h. 
die Integralrechnung nicht benützenden) Beweis zu geben. 
