Über gewisse Potenzleihen an der Konvergenzgrenze. 
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§ 2. Beispiel einer überall stetigen Funktion, deren Fourierreihe 
an einer einzigen Stelle des Intervalles (0, 2 7 t) divergiert. 
Man betrachte die Gruppe von 2 n Zahlen 
1 _L I i -i -I _ 
n n— 1 2 2 
1 
n ' 
Man bilde diese Zahlengruppe der Reihe nach für 
die folgenden Werte der ganzen Zahl n : 
n = 
i 
2 , 
3 
2 
•) 
3 
Man schreibe diese Zahlengruppen der Reihe nach 
alle nebeneinander, nachdem man aber die Zahlen der 
r-ten Gruppe ( v = 1, 2, 3, . . .) mit r 2 dividiert hat. So 
entsteht eine ganz bestimmte unendliche Zahlenfolge 
1 
2 ’ 
1 , 
2’ 4.256’ 4.255’ 4.254’ 
(a) 
Es bezeichne a y _ die *-te Zahl dieser Zahlenfolge. 
Dann ist die unendliche Reihe 
00 
a y _ cos y. x (6) 
x = l 
die Fouriersche Reihe einer überall stetigen, nach 2 jt 
periodischen Funktion, und diese Fouriersche Reilie(6) 
ist an der Stelle x — 0 divergent. 1 ) 
Der Beweis dafür ist sehr einfach. Ich •will aber vorher 
eine bequeme Bezeichnungsweise einführen. 
Es sei 
f] (7) 
y. = l 
') Die Reihe (6) habe ich zum erstenmal im § 3 meiner Note 111 
gegeben. Sie ist aus der Reihe (1) meiner Note II durch eine leichte 
Modifikation entstanden. Ich kam auf diese Abänderung, indem ich 
eine Frage zu beantworten suchte, die Herr Lebesgue brieflich an 
mich richtete. 
