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3. Abhandlung: Leopold Fejer 
die Fouriersche Reihe einer überall stetigen, und nach 
2 7i periodischen Funktion darstellt. 
Beweis. Es bedeute g wieder die Folge (13). Dann 
stellt die Reihe 
xp(x) — ( y; a x sin y. x J (1 6) 
'*=i 
mit Rücksicht auf die Ungleichung (3) eine überall stetige 
und nach 2 n periodische Funktion dar. Weiter ist klar, daß 
die Fouriersche Reihe der überall stetigen Funktion (16) gerade 
die Reihe (15) ist. Damit ist der Beweis erbracht. 
Wie Herr Pringsheim hervorhebt, folgt im allgemeinen 
aus der Voraussetzung, daß die Reihe 
oo 
/ . c* cos y. x (17) 
*=i 
die Fouriersche Reihe einer überall stetigen und nach 2 ti 
periodischen Funktion ist, noch keineswegs, daß auch die 
.konjugierte“ trigonometrische Reihe 
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c x sin y. x (18) 
die Fouriersche Reihe einer überall stetigen und nach 2 zi 
periodischen Funktion repräsentiert. 
Man betrachte z. B. die Reihe 
cos 3 x cos 5 x cos 7 x 
3 • log 3 5 • log 5 7 • log 7 
YV_n»-H cos (2 n -{- l)a; 
“ -V (2»+ l)log(2»-r 1)‘ 
(19) 
Diese Reihe ist in jedem Intervalle gleichmäßig konver- 
gent und stellt also die Fouriersche Reihe einer überall stetigen 
und nach 2 rr periodischen Funktion dar. 
Um die gleichmäßige Konvergenz der Reihe (19) nachzu- 
weisen, setzte man in (19) statt x 
