Über gewisse Potenzreihen an der Konvergenzgrenze. 
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Dann erhält man die Reihe 
sin3£ sin5£ -Ä sin (2 n -\-Y)t 
3 • log 3 5 • log 5 j“ (2 n -)- 1) log (2 n + 1) ’ 
und es genügt offenbar zu zeigen, daß diese Reihe (19') in 
jedem Intervalle gleichmäßig konvergiert. 
Aus der Ungleichung (2') (s. § 1, zweite Fußnote) folgt, 
wenn ich M — 3 "6 nehme, daß 
si n (2 r — 1 )t < 5 . 4 
2v — 1 
und zwar für jeden positiven ganzzahligen Wert von 7c, und 
für jeden reellen Wert von t. Daher ist 
m 
E 
v—n 
sin (2 n -j- 1) t 
~ 2 r + l"~ 
< 10 - 8 , 
und zwar für jedes positive ganzzahlige Wertepaar n, m (wo 
n < m ), und für jeden reellen Wert von t. 
Daraus folgt, mit Rücksicht auf ein bekanntes Abelsches 
Lemma, daß 
"t, 1 sin(2v + l)^ ^ 10'8 
2j iog(2r + 1) 2v + l ^ log (2n“+l) ' 
v— n 
Also ist die Reihe (19') und daher auch die Reihe (19) 
in jedem Intervalle gleichmäßig konvergent. 
Nun lautet die zur Reihe (19) konjugierte Reihe 
sin 3 x sin 5 x sin 7 x 
3 • log 3 _ 5 -log5 + 7 • log 7 
( 20 ) 
Diese Reihe (20) kann aber nicht die Fouriersche 
Reihe einer überall stetigen, nach 2 n periodischen 
Funktion sein. Die Reihe (20) geht nämlich für 
x = — 
71 
2 
— 1 1 1 (_ - 
3 • log 3 T 5 • log 5 ^ 7 
1 
log 7 
+ ... 
in die Reihe 
