Über gewisse Potenzreihen an der Konvergenzgrenze. 
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Diese Reihe (21) ist die Fourier’sche Reihe einer 
überall stetigen, nach 2 ti periodischen Funktion, und 
ist divergent für sämtliche Werte 
m 
x - 
ji , 
( 22 ) 
wo 
m — 0, +1, ±2, ±3, . . . , 
n — ± 1, ±2, ... 
Der Beweis läßt sich mit einigen Worten erledigen. 
Mit Rücksicht auf die Ungleichung (4) des § 1 ist die Reihe 
0 (x) = 
GO 
2 
a x cos K 
ly X J 
' ' 
in jedem Intervalle gleichmäßig und absolut konvergent, stellt 
also eine überall stetige, und nach 2 n periodische Funktion <P(x) 
dar. Es ist weiter klar, daß die Reihe (21) die Fouriersclie 
Reihe dieser Funktion <P(x) ist. Schließlich ist diese Fouriersche 
m 
Reihe (21) an sämtliche Stellen (22) divergent, weil für x= ~n 
1_ 
v 2 
— -f -|- — -j- — -f- 1 
2 v 3 r • • • i 3 i 2 1 
eine Partialsumme dieser Fourierschen Reihe darstellt, wenn 
nur v gehörig groß ist. 
Ich bemerke noch, daß auch die Reihe 
00 
a.y sin ly x 
(24) 
die Fourier sc he Reihe einer überall stetigen und nach 
2 ti periodischen Funktion darstellt. Diese Funktion 
ist durch die Reihe 
l l r {x) = f Oy sin ly x\ 
'y.z= i /.c 
(25) 
definiert, eine Reihe, die in jedem Intervalle gleichmäßig und 
absolut konvergiert, und die aus der Reihe (24) wieder einfach 
durch die schon früher angewendete Art der Gliederzusammen- 
ziehung entsteht. 
